Pearson相関係数: 多項分布とサイコロの出目の相関係数

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Problem

$n$ 個のフェアな6面サイコロを振ったとき, 1の目がでたサイコロの個数 $X$ と 2の目がでたサイコロの個数 $Y$の２つの確率変数を考える. このとき, $X$と$Y$のPearson相関係数 $\rho(X, Y)$を計算せよ

解答

$n$ 個のフェアな6面サイコロについて, 1と2以外の出目の個数を$Z$とすると, 同時分布関数 $Pr(X, Y, Z)$ は多項分布に従うので以下のように表現できる

\[\Pr(X=x, Y=y, Z=z) = \frac{n!}{x!y!z!}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{x+y}\bigg(\frac{4}{6}\bigg)^z\]

従って, 共分散は

\[\begin{align*} \mathbb E[XY] &= \sum_{x+y+z=n} \frac{n!}{x!y!z!}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{x+y}\bigg(\frac{4}{6}\bigg)^zxy\\[8pt] &=\frac{n(n-1)}{36}\sum_{(x-1)+(y-1)+z=n-2} \frac{(n-2)!}{(x-1)!(y-1)!z!}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{x-1}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{y-1}\bigg(\frac{4}{6}\bigg)^z\\[8pt] &=\frac{n(n-1)}{36} \end{align*}\]

期待値と分散ははそれぞれ

\[\begin{align*} &\mathbb E[X] = \mathbb E[Y] = \frac{n}{6}\\ &\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = n\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}= \frac{5n}{36} \end{align*}\]

よって,

\[\begin{align*} \rho(X, Y) &= \bigg(\frac{n(n-1)}{36} - \frac{n^2}{36}\bigg)\bigg/\frac{5n}{36}\\ &= -\frac{1}{5} \end{align*}\]

解答終了

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相関係数 3/N

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