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離散型確率変数と重心
Problem
確率変数$X$は値$x_i$を確率$p_i$でとる離散型確率変数とする. 重さのない棒の中央を原点として, 右をプラス, 左をマイナスとして場所$x_i$のところに重さ$p_i$のおもりを吊り下げるとします. このとき, 期待値が重心であることを示せ.
重心はモーメントの釣り合いと考えることができるので右回りのモーメントが期待値周りで0になることを示せれば十分です.
\(\begin{align*} \sum_{i}(x_i - \mathbb E[X])p_i &= \sum_{i}x_ip_i - \sum_{i}\mathbb E[X]p_i\\ &= \mathbb E[X] - \mathbb E[X] = 0 \end{align*}\)
したがって, $\mathbb E[X]$は棒の重心といえる.
連続型確率変数と重心
Problem
確率変数$X$は密度関数$f(x)$をもつ連続確率変数とする. 重さのある棒が与えられ, その中央を原点とし右をプラス, 左をマイナスとします. また, 座標$x$のところの棒の断面積を$f(x)$としたとき, この棒の重心が$\mathbb E[X]$となることをしめせ.
離散型と同じように, $x$座標における右回りのモーメントは$(x - \text{重心})f(x)$に比例するので, 右回りのモーメントが期待値周りで0になることを示せれば十分です
\(\begin{align*} \int (x - \mathbb E[X])f(x)dx &= \int xf(x)dx - \mathbb E[X]\int f(x)dx\\ &= \mathbb E[X] - \mathbb E[X] = 0 \end{align*}\)
したがって, 連続型確率変数において$f(x)$を断面積とする棒の重心は$\mathbb E[X]$といえる.
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