math 統計

min, max関数を絶対値を用いて表現する

確率と数学ドリル 9/N

公開日: 2021-02-03
更新日: 2023-11-30

  Table of Contents

平均と絶対値を用いたmax, minの表現

min, max, abs

$x, y\in \mathbb R$としたとき, この２つの数の最大値と最小値は絶対値を用いて以下のように書き換えられる

\[\begin{align*} \max\{x, y\} &= \frac{x + y + |x - y|}{2}\\[3pt] \min\{x, y\} &= \frac{x + y - |x - y|}{2} \end{align*}\]

まず$\max$に関して示します.

$x\geq y$ のとき

\[\begin{align*} \frac{x + y + |x - y|}{2} &= \frac{x + y + x - y}{2}\\[3pt] &= x\\ &= \max\{x,y\} \end{align*}\]

となり題意は成り立つ.

$y > x$のときも

\[\frac{x + y + |x - y|}{2} = \frac{x + y + |y - x|}{2}\]

であるので, $x\geq y$ のときと同様の理由で題意は成り立つ.

$\min$に関しても同様に

\[\frac{x + y - |x - y|}{2} = \frac{x + y - |y - x|}{2}\]

なので, $x\geq y$ のとき題意が成り立つとき示せれば十分.

\[\begin{align*} \frac{x + y - |x - y|}{2} &= \frac{x + y - (x - y)}{2}\\[3pt] &= y\\ &= \min\{x,y\} \end{align*}\]

従って, $\min$についても題意が成り立つことが証明された.

REMARKS

  • 実数値関数 $f(x), g(x)$ が連続であるとき, $x$ を $\max⁡{f(x),g(x)}$や$\min{f(x),g(x)}$に対応させる関数も連続であることを証明する際に用いられます

三角不等式とmin,max

problem

任意の$a,b,c,d \in \mathbb R$について

\[\begin{align*} \max\{a+b, c+d\} & \leq \max\{a, c\} + \max\{b, d\} \\[3pt] \min\{a+b, c+d\} & \geq \min\{a, c\} + \min\{b, d\} \\[3pt] \end{align*}\]

が成立することを示せ

三角不等式 $\vert x + y\vert\leq \vert x\vert + \vert y \vert$を利用して示すことができます.

\[\begin{align*} \max\{a+b, c+d\} &= \frac{a+b+c+d+|(a+b) - (c+d)|}{2}\\[3pt] &= \frac{a+b+c+d+|(a-c) + (b-d)|}{2}\\[3pt] &\leq \frac{a+b+c+d+|(a-c)| + |(b-d)|}{2} \ \ \because \ \ \text{ 三角不等式}\\[3pt] &= \frac{a+c + |a-c|}{2} + \frac{b+d+|b-d|}{2}\\[3pt] &= \max\{a, c\} + \max\{b, d\} \end{align*}\]

$\min$に関しても同様に

\[\begin{align*} \min\{a+b, c+d\} &= \frac{a+b+c+d-|(a+b) - (c+d)|}{2}\\[3pt] &= \frac{a+b+c+d-|(a-c) + (b-d)|}{2}\\[3pt] &\geq \frac{a+b+c+d - |(a-c)| - |(b-d)|}{2} \ \ \because \ \ \text{ 三角不等式}\\[3pt] &= \frac{a+c - |a-c|}{2} + \frac{b+d-|b-d|}{2}\\[3pt] &= \min\{a, c\} + \min\{b, d\} \end{align*}\]
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