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１つの信号における待ち時間の確率
Problem
自宅から駅に行く途中に横断歩道が一つある. ここの信号について以下の情報がわかっている
- 青信号1分
- 赤信号2分
- 信号の切り替わりタイミングは全くわからない
「信号の切り替わりタイミングは全くわからない」ので, 信号の３分サイクルのどのタイミングで信号の場所にたどり着くかは 一旦は一様分布に従うとする. このとき,
- $r$分以上待つ確率
- $0 \leq a < b \leq 2$について, $a$分から$b$分まつ確率
- 待ち時間の期待値と分散
を求めよ
(1) $r$分以上待つ確率
「信号の３分サイクルのどのタイミングで信号の場所にたどり着くかは一旦は一様分布に従う」としているので,
- 待たないで信号を渡る確率は $1/3$
- $r > 0$分待つのは$2/3$の確率で$Unif(0, 2)$に従う確率変数
従って, $0 < r < 2$のとき, $r$分以上待つ確率は待ち時間についての確率変数を$X$とすると
\[\begin{align*} \Pr(X\geq r) &= \Pr(\text{待ち時間発生}) \times \Pr(X\geq r |\vert \text{待ち時間発生})\\[3pt] &= \frac{2}{3}\times \frac{2 - r}{2}\\[3pt] &= \frac{2 - r}{3} \end{align*}\](2) $0 \leq a < b \leq 2$について, $a$分から$b$分まつ確率
(1)の答えより, $0 < a < b \leq 2$のときは
\[\begin{align*} \Pr(a \leq X \leq b) &= \Pr(X \leq b) - \Pr(X < a)\\ &= \bigg(1 - \frac{2 - b}{3}\bigg) - \bigg(1 - \frac{2 - a}{3}\bigg)\\ &= \frac{b-a}{3} \end{align*}\]$0 = a < b \leq 2$のときは, 待たずに渡る確率を考慮する必要があるので
\[\begin{align*} \Pr(X \leq b) &= \frac{1}{3} + \bigg(\frac{2}{3} - \frac{2 - b}{3}\bigg)\\[3pt] &= \frac{1+b}{3} \end{align*}\](3) 待ち時間の期待値と分散
\(\begin{align*} \mathbb E[X] &= \mathbb E[X\vert \text{待ち時間発生}]\Pr(\text{待ち時間発生}) + \mathbb E[X\vert \text{待ち時間not発生}]\Pr(\text{待ち時間not発生})\\ &= 1 \times \frac{2}{3} + 0 \times 0\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}\)
分散は $V(X) = \mathbb E[X^2] - \mathbb E[X]^2$なので,
\(\begin{align*} \mathbb E[X^2] &= \mathbb E[X^2\vert \text{待ち時間発生}]\Pr(\text{待ち時間発生}) + \mathbb E[X^2\vert \text{待ち時間not発生}]\Pr(\text{待ち時間not発生})\\ &= \frac{8}{3} \end{align*}\)
従って,
\[V(X) = \frac{20}{9}\]References
(注意：GitHub Accountが必要となります）