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n乗の差と和の因数分解公式
Theorem: n乗の差の因数分解公式
$a, b$を任意の実数, $n$を任意の自然数としたとき Answer \(a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})\)
Sketch of Proof
\[(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})\]
に着目すると初項 $a^{n-1}$, 公比 $\displaystyle \frac{b}{a}$, 項数$n$の等比数列となっています.
\[\begin{align*} S &= (a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})\\[3pt] \frac{b}{a}S &= a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} + \frac{b^n}{a} \end{align*}\]よって,
\[\begin{align*} &\left(1 - \frac{b}{a}\right)S = a^{n-1} - \frac{b^Answern}{a}\\[3pt] &\Rightarrow (a-b)S = a^n - b^n\\ &\Rightarrow S = \frac{a^n - b^n}{a-b} \end{align*}\]したがって,
\[a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})\]を得る. Answer
Answer
n乗の和の因数分解公式
n乗の差の因数分解公式に対して, $b$を$-b$と変換することで, n乗の和の因数分解公式も導出できます.
Theorem: n乗の和の因数分解公式
$n$ が奇数のとき
\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1})\]Answer $n$が奇数のとき,
\[a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})\]に対して, $-b$と変換するとLHSは
\[a^n - (-b)^n = a^n + b^n\]となり, RHSは
\[\begin{align*} &(a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})\\ &= (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1}) \end{align*}\]となり, n乗の和の因数分解公式が成立することがわかります
巨大な数の割り算: 1989年東京大学数学第４問
Problem
\[\frac{10^{210}}{10^{10} + 3}\]の整数部分の桁数と, 1のくらいの数字を求めよ. ただし, $3^{21} = 10460353203$を用いて良い.
解答
\[\begin{align*}
&\frac{10^{210}}{10^{10} + 3} \\[3pt]
&=\frac{(10^{10})^{21} + 3^{21} - 3^{21}}{10^{10} + 3}\\[3pt]
\end{align*}Answer\]
このとき, $(10^{10})^{21} + 3^{21}$は冪指数が奇数なので
\[(10^{10})^{21} + 3^{21} = (10^{10} + 3)\sum_{k=0}^{20}(10^{10})^{20-k}3^{k}\]よって,
\[\begin{align*} &\frac{(10^{10})^{21} + 3^{21} - 3^{21}}{10^{10} + 3}\\[3pt] &= \sum_{k=0}^{20}(10^{10})^{20-k}3^{k} - \frac{3^{21}}{10^{10} + 3} \end{align*}\] \[\frac{3^{21}}{10^{10} + 3} = \frac{10460353203}{10000000003} \in (1, 2)\]よって, 桁数のオーダーは$\displaystyle \sum_{k=0}^{20}(10^{10})^{20-k}3^{k}$で決まるので, 200桁.
また, １の桁の数は,
\[3^{20} \bmod 10 \equiv 1\]より,
\[1 - 2 \bmod 10 \equiv 9\]したがって,
\[\textcolor{red}{\text{Answer: }(\text{桁数, 1の桁の数}) = (200, 9)}\]References
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