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指数関数と正弦・余弦関数の積分
Problem
$a, b$を任意の実数とし,
\[\begin{align*} I &= \int \exp(ax)\cos bx\ dx\\[3pt] J &= \int \exp(ax)\sin bx\ dx \end{align*}\]とおくと,
\[\begin{align*} I &= \frac{\exp(ax)}{a^2 + b^2}(a\cos bx + b\sin bx) + C\\[3pt] J &= \frac{\exp(ax)}{a^2 + b^2}(-b\cos bx + a\sin bx) + C \end{align*}\]となることを示せ.
証明
\[\begin{align*}
I &= \int \exp(ax)\cos bx\ dx\\[3pt]
&= \frac{1}{a}\exp(ax)\cos bx + \int \frac{b}{a}\exp(ax)\sin bx\ dx\\[3pt]
&= \frac{1}{a}\exp(ax)\cos bx + \frac{b}{a}J + C
\end{align*}\]
同様に
\[\begin{align*} J &= \int \exp(ax)\sin bx\ dx\\[3pt] &= \frac{1}{a}\exp(ax)\sin bx - \int \frac{b}{a}\exp(ax)\cos bx\ dx\\[3pt] &= \frac{1}{a}\exp(ax)\sin bx - \frac{b}{a}I + C \end{align*}\]これらを整理すると
\[\begin{align*} I &= \frac{\exp(ax)}{a^2 + b^2}(a\cos bx + b\sin bx) + C\\[3pt] J &= \frac{\exp(ax)}{a^2 + b^2}(-b\cos bx + a\sin bx) + C \end{align*}\]練習問題
Problem 1
定積分
\[\int^\pi_0\exp(x)\sin x\ dx\]を求めよ
解答
\[\begin{align*}
&\int^\pi_0\exp(x)\sin x\ dx\\[3pt]
&= \underbrace{\left[\exp(x)\sin x\right]^\pi_0}_{=0} - \int^\pi_0\exp(x)\cos x\ dx\\[3pt]
&= \left[\exp(x)\cos x\right]^\pi_0 - \int^\pi_0\exp(x)\sin x\ dx
\end{align*}\]
従って,
\[\int^\pi_0\exp(x)\sin x\ dx = \frac{1 + \exp(\pi)}{2}\]これは,
\[\int \exp(ax)\sin bx\ dx = \frac{\exp(ax)}{a^2 + b^2}(-b\cos bx + a\sin bx)\]に対して, $(a, b) = (1,1)$, また $[0, \pi]$区間で積分した場合と同じ答えである.
Problem 2
定積分
\[\int^\pi_0\exp(-x)\cos x\ dx\]を求めよ
解答
\[\begin{align*}
&\int^\pi_0\exp(-x)\cos x\ dx\\[3pt]
&= \left[(-1)\exp(-x)\cos x\right]^\pi_0 - \int^\pi_0\exp(x)\sin x\ dx\\[3pt]
&= [\exp(-\pi) + 1] - \left\{\underbrace{[(-1)\exp(-x)\sin x]^\pi_0}_{=0} + \int^\pi_0\exp(-x)\cos x\ dx\right\}
\end{align*}\]
従って,
\[\int^\pi_0\exp(-x)\cos x\ dx= \frac{1 + \exp(-\pi)}{2}\]arctanと部分積分
arctanの微分
Theorem: arctanの微分
\[\frac{d\arctan x}{dx} = \frac{1}{1+x^2}\]証明
逆関数の微分公式を用いて示します
$x = \tan y$について, 両辺を$y$で微分すると
\[\begin{align*} \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos^2 y} \end{align*}\]このとき, 三角関数の関係式より
\[\begin{align*} \cos^2y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} \end{align*}\]従って,
\[\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \cos^2y\\[3pt] &= \frac{1}{1 + \tan^2 y}\\[3pt] &= \frac{1}{1+x^2} \end{align*}\]arctanと部分積分
Problem 1
定積分
\[\int^1_0x^2\arctan x\ dx\]を求めよ
解答
\[\begin{align*}
&\int^1_0x^2\arctan x\ dx\\[3pt]
&= \left[\frac{1}{3}x^3\arctan x\right]^1_0 - \frac{1}{3}\int^1_0\frac{x^3}{1+x^2}\ dx\\[3pt]
&= \frac{\pi}{12} - \frac{1}{3}\int^1_0\left(x - \frac{x}{1+x^2}\right)\ dx\\[3pt]
&= \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6} + \frac{\log 2}{6}
\end{align*}\]
対数関数と積分
Problem 1
定積分
\[\int^e_1x^2\log x\ dx\]を求めよ
解答
\[\begin{align*}
&\int^e_1x^2\log x\ dx \\[3pt]
&= \left[\frac{1}{3}x^3\log x\right]^e_1 - \int^e_1x^2\ dx\\[3pt]
&= \frac{2\exp(3) + 1}{9}
\end{align*}\]
Problem 2
定積分
\[\int^e_1x(\log x)^2\ dx\]を求めよ
解答
\[\begin{align*}
&\int^e_1x(\log x)^2\ dx \\[3pt]
&= \left[\frac{1}{2}x^2(\log x)^2\right]^e_1 - \int^e_1x\log x\ dx\\[3pt]
&= \left[\frac{1}{2}x^2(\log x)^2\right]^e_1 - \left[\frac{1}{2}x^2\log x\right]^e_1 + \left[\frac{x^2}{4}\right]^e_1\\[3pt]
&= \frac{\exp(2)-1}{4}
\end{align*}\]
References
統計
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git
Ubuntu 22.04 LTS
方法論
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