分散分析の考え方

Table of Contents

分散分析の考え方
- within-differenceとbetween-differenceへの分解
- F検定の導入

Def: 分散分析(Analysis of variance)

分散分析はデータ全体の変動を

treatmentの差異にもどづく変動
実験誤差に基づく変動

に分解することによってデータを解析する統計手法のこと.

単純化のため反復数の等しい一元配置完全無作為化法実験のデータを以下のように考えます:

$j$: treatmentのクラスを表すindex, $j \in {1, \cdots, J}$
$i$: とあるtreatmentクラスの中で $i$ 番目に観測された値, $i \in {1, \cdots, N}$
$y_{ij}$: $i$番目に観測された, 処置 $j$ クラスの観測値
treatmentの付与の順番と観測順番は完全にランダムに実施されたとする

このとき, 以下のように総合計, 総平均, 処理別合計, 処理別平均を定義する:

\[\begin{align*} \text{処理別合計: } T_j &= \sum^N_{i=1} y_{ij} \\[8pt] \text{処理別平均: } \bar y_j &= \frac{1}{N}\sum^N_{i=1} y_{ij} = \frac{T_j}{N} \\[8pt] \text{総合計: } T &= \sum^J_{j=1}\sum^N_{i=1} y_{ij} \\[8pt] \text{総平均: } \bar y &= \frac{1}{JN}\sum^J_{j=1}\sum^N_{i=1} y_{ij} = \frac{1}{J}\sum_{j=1}^J \bar y_j \end{align*}\]

within-differenceとbetween-differenceへの分解

個々の観測値と総平均の差の分解

\[y_{ij} - \bar y = (y_{ij} - \bar y_j) + (\bar y_j - \bar y)\]

treatment別平均と観測値の差(第一項)とtreatment平均と総平均との差(第二項)に分解できる

二乗誤差に着目すると, total sum of squaresは

\[\begin{align*} S_{total} &= \sum_j\sum_i (y_{ij} - \bar y)^2\\ &= \sum_j\sum_i y_{ij}^2 - JN \bar y^2\\ &= \sum_j\sum_i y_{ij}^2 - \frac{T^2}{JN} \tag{1} \\ \text{自由度: }v_{total} &= JN - 1 \end{align*}\]

第一項についてのwithin-treatment sum of squaresは

\[\begin{align*} S_{within} &= \sum_j\sum_i (y_{ij} - \bar y_j)^2\\ &= \sum_j\sum_i y_{ij}^2 - N \sum_{j}^J\bar y_j^2\\ &= \sum_j\sum_i y_{ij}^2 - \frac{1}{N}\sum_j^J T_j^2 \tag{2}\\ \text{自由度: }v_{within} &= J(N-1) \end{align*}\]

第二項についてのbetween-treatment sum of squaresは

\[\begin{align*} S_{between} &= \sum_j\sum_i (\bar y_j - \bar y)^2\\ &= N\sum_j \bar y_j^2 - NJ\bar y^2\\ &= \frac{1}{N}\sum_j^J T_j^2 - \frac{T^2}{JN} \tag{3}\\ \text{自由度: }v_{between} &= J - 1 \end{align*}\]

したがって, (1), (2), (3)より

\[\begin{align*} S_{total} &= S_{within} + S_{between}\\ v_{total} &= v_{within} + v_{between} \end{align*}\]

F検定の導入

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