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フーリエ余弦・正弦展開
Def: フーリエ余弦展開
関数 $f(x)$ を $0 \leq x \leq \pi$で定義された関数とする. これを
\[f(-x) = f(x) \qquad (0 \leq x \leq \pi)\]と $-\pi \leq x \leq \pi$上の偶関数に拡張子, さらに
\[f(x) = f(x + 2\pi)\]によって周期$2\pi$の周期関数に拡張する. このとき, $f(x)$が区分的になめらかな関数でフーリエ級数展開ができるとすると
\[\begin{align*} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx \\[3pt] a_n &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f(x) \cos nx\ dx \end{align*}\]となり, この一連の展開のことをフーリエ余弦級数展開という.
もとの関数を
\[f(-x) = -f(x) \qquad (0 \leq x \leq \pi)\]と展開した場合は,
\[\begin{align*} f(x) &= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \\[3pt] b_n &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f(x) \sin nx\ dx \end{align*}\]となり, この一連の展開のことをフーリエ正弦級数展開という.
例題
Problem
関数
\[f(x) = x \qquad (0 \leq x \leq \pi)\]をフーリエ余弦級数展開せよ
定義より,
\[\begin{align*} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx \\[3pt] a_n &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 x \cos nx\ dx \end{align*}\]従って,
\[a_0 = \pi\]また, $n\neq 0$の場合は, 瞬間部分積分を用いると
| 符号 | 第１項 | 第２項 |
|---|---|---|
| + | $x$ | $\frac{1}{n}\sin nx$ |
| - | $1$ | $-\frac{1}{n^2}\cos nx$ |
となるので
\[a_n = \begin{cases} \displaystyle 0 & n:\text{even}\\[3pt] \displaystyle -\frac{4}{\pi n^2} & n:\text{odd} \end{cases}\]従って,
\[\begin{align*} f(x) &\sim \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos x + \frac{\cos 3x}{9} + \frac{\cos 5x}{25} + \cdots \right)\\[3pt] &= \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos (2n-1)x}{2n-1} \end{align*}\]なお, これは$\vert x\vert (-\pi\leq x\leq \pi)$のフーリエ級数展開と同じになる.
フーリエ級数展開との関係で考えてみると, 余弦展開を考えた場合, 定義より偶関数への拡張を行っているので $a_n$のみに注目すればいいことはわかるが, もともとのフーリエ級数展開では
\[\begin{align*} a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x) \cos nx dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f(x) \cos nx dx \end{align*}\]であることから直感的に理解できる. 正弦級数展開をするときも, 同様の理由で $b_n$のみに着目すればよく, また, 奇関数 $\times$ 奇関数 は偶関数になるので
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x) \sin nx dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f(x) \sin nx dx \end{align*}\]であることからも理解できる.
例題
Problem
関数
\[f(x) = \begin{cases} 1 & \qquad (0 \leq x < \pi/2)\\[3pt] 0 & \qquad (\pi/2 \leq x < \pi) \end{cases}\]を周期$2\pi$へ拡張したときのフーリエ余弦級数展開, 正弦級数展開せよ
フーリエ余弦級数展開
$n=0$のとき,
\[\begin{align*} a_0 &= \frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f(x) \ dx\\[3pt] &= 1 \end{align*}\]$n\neq 0$の場合,
\[\begin{align*} a_n &= \frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f(x) \cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi/2}_0 \cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin nx}{n}\right]^{\pi/2}_0\\[3pt] &= \begin{cases} \displaystyle 0 & n:\text{even}\\[3pt] \displaystyle \frac{2}{\pi n} & n \equiv 1 \mod 4 \\[3pt] \displaystyle -\frac{2}{\pi n} & n \equiv 3 \mod 4 \end{cases} \end{align*}\]従って,
\[f(x) \sim \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos (4n+1)x}{4n+1} -\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos (4n+3)x}{4n+3} \right)\]\[\begin{align*} b_n &= \frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f(x) \sin nx\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi/2}_0 \sin nx\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]^{\pi/2}_0\\[3pt] &= \begin{cases} \displaystyle \frac{2}{\pi n} & n:\text{odd}\\[3pt] \displaystyle 0 & n \equiv 0 \mod 4 \\[3pt] \displaystyle \frac{4}{\pi n} & n \equiv 2 \mod 4 \end{cases} \end{align*}\]フーリエ正弦級数展開
従って,
\[f(x) \sim \frac{2}{\pi}\left(\sum_{n=0}^\infty \sin(2n+1)x + \sum_{n=0}^\infty \frac{2\sin (4n+2)x}{4n+2} \right)\]例題
Problem
関数
\[f(x) = x^2\]を周期$2\pi$へ拡張したときの正弦級数展開せよ
\[\begin{align*} b_n &= \frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f(x) \sin nx\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 x^2\sin nx\ dx \end{align*}\]フーリエ正弦級数展開
瞬間部分積分より
| 符号 | 第一項 | 第二項 |
|---|---|---|
| + | $x^2$ | $\displaystyle -\frac{1}{n}\cos nx$ |
| - | $2x$ | $\displaystyle -\frac{1}{n^2}\sin nx$ |
| + | $2$ | $\displaystyle \frac{1}{n^3}\cos nx$ |
従って,
\[f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{-2\pi}{2n} \sin 2nx + \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2n-1}\left(\pi - \frac{4}{\pi (2n-1)^2}\right) \sin (2n-1)x\]三角関数の直交性についての再確認
Ryo’s Tech Blog > 三角関数系の直交性にて,
\[\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}\cos m\theta \cos n\theta\ d\theta = \delta_{mn} \qquad (m,n\text{は整数})\]は確認しましたが,
\[\begin{align*} \int^\pi_{0}\cos m\theta \cos n\theta\ d\theta, \ \ \int^\pi_{0}\sin m\theta \sin n\theta\ d\theta, \ \ \int^\pi_{0}\cos m\theta \sin n\theta\ d\theta \end{align*}\]について確認していないので念の為, ここで再確認します.
余弦関数同士の直交性
$m\neq 0$のとき, 偶関数同士の積は偶関数なので
\[\begin{align*} \int^\pi_{0}\cos m\theta \cos n\theta\ d\theta &= \frac{1}{2}\int^\pi_{-\pi}\cos m\theta \cos n\theta\ d\theta\\[3pt] &= \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \qquad (\delta_{mn}: \text{Kroneker delta}) \end{align*}\]$m=0$のとき,
\[\begin{align*} \int^\pi_{0}\cos 0 \cos n\theta\ d\theta &= \frac{1}{2}\int^\pi_{-\pi} \cos n\theta\ d\theta\\[3pt] &= \pi\delta_{0n} \qquad (\delta_{0n}: \text{Kroneker delta}) \end{align*}\]正弦関数同士の直交性
$m\neq 0$のとき, 奇関数同士の積は偶関数なので
\[\begin{align*} \int^\pi_{0}\sin m\theta \sin n\theta\ d\theta &= \frac{1}{2}\int^\pi_{-\pi}\sin m\theta \sin n\theta\ d\theta\\[3pt] &= \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \qquad (\delta_{mn}: \text{Kroneker delta}) \end{align*}\]$m=0$のとき,
\[\begin{align*} \int^\pi_{0}\sin 0\theta \sin n\theta\ d\theta &= \frac{1}{2}\int^\pi_{-\pi}0 \sin n\theta\ d\theta\\[3pt] &= 0 \end{align*}\]証明: 正弦関数と余弦関数の直交性
$m,n$のいずれかが0のときは積分計算結果が0になることが自明なのでそれ以外のケースを考える.
積和の公式より
\[\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2}\]これを用いると
\[\begin{align*} \int^\pi_{0}\sin m\theta \cos n\theta\ d\theta &= \frac{1}{2}\int^\pi_{0}\sin(m + n)\theta + \sin(m - n)\theta\ d\theta\\[3pt] &= \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{m+n}\cos(m+n)\theta - \frac{1}{m-n}\cos(m-n)\theta\right]^\pi_0\\[3pt] &= \begin{cases} \displaystyle 0 & \text{if } m + n \text{: even}\\[3pt] \displaystyle \frac{1}{m+n} + \frac{1}{m-n} & \text{if } m + n \text{: odd} \end{cases} \end{align*}\]従って, $m+n$が偶数のときは直交するが, それ以外のときではしない.
クロネッカーデルタを用いた余弦係数, 正弦係数の表記
上で確認した定義にように関数$f(x)$のフーリエ余弦展開は
\[\begin{align*} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx \\[3pt] a_n &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f(x) \cos nx\ dx \end{align*}\]と書き表せます. $a_n \ (n\neq 0)$について
積和の公式より
\[\begin{align*} \cos a \cos b &= \frac{\cos (a + b) + \cos (a - b)}{2}\\[3pt] \cos^2 nx &= \frac{\cos 2nx + 1}{2} \end{align*}\]なので
\[\int^\pi_0\cos^2 nx\ dx = \frac{\pi}{2}\]とわかります. 従って, $n\neq 0$について
\[a_n = \frac{\int^{\pi}_0 f(x) \cos nx\ dx}{\int^\pi_0\cos^2 nx\ dx}\]また, $n=0$については
\[\int^\pi_0\cos^2 0\ dx = \pi\]より
\[a_0 = \frac{2}{\int^\pi_0\cos^2 0\ dx}\int^{\pi}_0 f(x) \cos 0\ dx\]この２つを合わせると, フーリエ余弦係数はクロネッカーデルタを用いて以下のように表現できます
\[a_n = (1 + \delta_{0n})\frac{\int^{\pi}_0 f(x) \cos nx\ dx}{\int^\pi_0\cos^2 nx\ dx}\]例: 正弦係数の表現
正弦係数も同様に
\[\begin{align*} f(x) &= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \\[3pt] b_n &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f(x) \sin nx\ dx \end{align*}\]とフーリエ正弦展開は表される. 積和の公式より
\[\sin a\sin b = -\frac{\cos (a + b) - \cos (a-b)}{2}\]これより
\[\int^\pi_0 \sin nx\ dx = \frac{\pi}{2}\]を得る.
従って,
\[b_n = \frac{\int^{\pi}_0 f(x) \sin nx\ dx}{\int^\pi_0\sin^2 nx\ dx}\]と表現できることがわかる.
Appendix: 奇関数同士の積は偶関数
Theorem
\[\text{奇関数} \times \text{奇関数} = \text{偶関数}\]証明
$f(x), g(x)$が共に奇関数とする. $h(x) = f(x) \cdot g(x)$とすると
\[\begin{align*} h(x) &= f(x) \cdot g(x)\\ &= -f(x) \cdot -g(x)\\ &= f(-x) \cdot g(-x)\\ &= h(-x) \end{align*}\]従って, $h(x)$は偶関数である.
Appendix: Python code for visualization
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import plotly.express as px
import numpy as np
from IPython.display import display, HTML
import plotly
plotly.offline.init_notebook_mode()
display(HTML(
'<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_SVG"></script>'
))
# 定数
def constant_fourier(x, max_n):
y = 1/2
term = 0
while max_n + 1 > term:
y += 2/np.pi * (np.cos((4*term + 1) * x) / (4*term + 1) - np.cos((4*term + 3) * x) / (4*term + 3))
term += 1
return y
## 偶関数
def f_x(x):
if x >= 0 and x < np.pi/2:
return 1
elif x >= np.pi/2 and x < np.pi:
return 0
elif x < 0:
return f_x(-x)
else:
return f_x(x-2*np.pi)
x = np.linspace(-2*np.pi*1.1, 2*np.pi*1.1, 700)
y, y2, y3 = constant_fourier(x, max_n=5), constant_fourier(x, max_n=10), constant_fourier(x, max_n=100)
y4 = np.vectorize(f_x)(x)
fig = px.line(x=x, y=[y, y2, y3, y4],
render_mode='SVG',
title='フーリエ余弦展開例<br><sup>opacity=.6 , n = 5, 10, 100</sup>',
)
newnames = {'wide_variable_0':'n=10',
'wide_variable_1':'n=20',
'wide_variable_2':'n=200',
'wide_variable_3':'true'}
fig.update_traces(opacity=.8)
fig.for_each_trace(lambda t: t.update(name = newnames[t.name],
legendgroup = newnames[t.name],
hovertemplate = t.hovertemplate.replace(t.name, newnames[t.name])
)
)
fig.update_xaxes(tickangle=0,
tickmode = 'array',
tickvals = [-3*np.pi, -2*np.pi, -3/2*np.pi, -np.pi, -1/2*np.pi,
0, 1/2*np.pi, np.pi, 3/2*np.pi, 2*np.pi, 3*np.pi],
ticktext=['$-3\pi$', '$-2\pi$', '', '$-\pi$', '', '0', '', '$\pi$', '', '$2\pi$', '$3\pi$'])
fig.show()
References
統計
Python
math
Linux
Ubuntu 20.04 LTS
Shell
English
git
Ubuntu 22.04 LTS
方法論
統計検定
競技プログラミング
フーリエ解析
前処理
SQL
coding
将棋
Data visualization
Network
statistical inference
VSCode
apt
システム管理
Coffee
Docker
Econometrics
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cloud
数値計算
素数
Book
Font
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Poetry
architecture
aws
shell
ssh
systemctl
テンプレート
データ構造
ポワソン分布
会計分析
文字コード
環境構築
論文
App
Bayesian
Dynamic Programming
Keyboard
Processing
R
Steam
filesystem
regex
(注意：GitHub Accountが必要となります）