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周期の一般化
Prop: 周期の拡張
関数 $f(x)$ を周期 $2L (L > 0)$の周期関数とする. このときフーリエ級数展開が可能であるならば
\[\begin{align*} f(x) &\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L}\right)\\[3pt] a_n &= \frac{1}{L}\int^L_{-L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx\\[3pt] b_n &= \frac{1}{L}\int^L_{-L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\ dx \end{align*}\]考え方としては, 周期 $2L$ の周期関数の変数$x$のスケールを変換すれば$2\pi$ できるので,
\[t = \frac{\pi x}{L}, \ \left(x = \frac{Lt}{\pi}\right)\]と変数変換すると $x$ が$2L$変化する間に$t$は$2\pi$変化する, すなわち
\[\begin{align*} h(t) &= f\left(\frac{L t}{\pi}\right)\\[3pt] h(t) &\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(a_n \cos nt + b_n \sin nt \right) \end{align*}\]一方, フーリエ係数は変数変換を用いると
\[\begin{align*} a_n &= \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}h(t)\cos nt dt\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^L_{-L} h\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cos \frac{n\pi x}{L} \frac{dt}{dx} dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^L_{-L} f(x)\cos \frac{n\pi x}{L} \frac{\pi}{L} dx\\[3pt] &= \frac{1}{L}\int^L_{-L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx\ \end{align*}\]となります.
REMARKS: 余弦展開と正弦展開
余弦展開と正弦展開のフーリエ係数はそれぞれ以下のように表せる:
\[\begin{align*} a_n &= \frac{2}{L}\int^L_{0}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx\\[3pt] b_n &= \frac{2}{L}\int^L_{0}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\ dx \end{align*}\]基本周期2Lの周期関数と積分範囲
Theorem: 積分範囲
周期$2L$の周期関数に対応する係数を, $c$を任意の定数として
\[\begin{align*} a_n &= \frac{1}{L}\int^{c+2L}_{c}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx\\[3pt] b_n &= \frac{1}{L}\int^{c+2L}_{c}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\ dx \end{align*}\]証明
(この証明はRyo’s Tech Blog > 三角関数系の直交性でも取り扱ったが再掲載)
\[\begin{align*} &\int^{c+2L}_{c}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx\\[3pt] &= \int^{2L}_{c}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx + \int^{2L+c}_{2L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx \end{align*}\]このとき, $f(x), \cos n\pi x/ L$は周期$2L$をもつので
\[\int^{2L+c}_{2L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L} = \int^{c}_{0}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx\]従って,
\[\begin{align*} &\int^{2L}_{c}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx + \int^{c}_{0}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx \\[3pt] &= \int^{2L}_{0}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx \end{align*}\]練習問題
例題
\[f(x) = x \qquad (-2\leq x<2)\]を$f(x + 4) = f(x)$により周期的に拡張した周期4の関数をフーリエ展開せよ
解答
$f(x)$は奇関数なので$b_n$のみ計算すれば十分.
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{L}\int^L_{-L}x\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{L}\int^L_{0}x\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\ dx \ \because\text{奇関数同士の積は偶関数} \\[3pt] &= \frac{2}{L}\frac{L}{n \pi}\left[-x\cos \frac{n\pi x}{L}\right]^L_0\\[3pt] &= (-1)^{n+1}\frac{2L}{n \pi} \end{align*}\]今回は $L = 2$なので
\[f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{4}{n \pi} \sin \frac{n\pi x}{L}\]例題
\[f(x) = \cos x \qquad (-4\leq x<4)\]を$f(x + 8) = f(x)$により周期的に拡張した周期4の関数をフーリエ展開せよ
解答
$f(x)$は偶関数なので$a_0$を求めれば十分.
\[\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{L}\int^L_{-L} \cos x \ dx\\[3pt] &= \frac{2}{L}\int^L_{0} \cos x \ dx\\[3pt] &= \frac{1}{2}\sin 4 \end{align*}\]$n\neq 0$について, 積和の公式より
\[\cos x \cos y = \frac{1}{2}\left[\cos (x+y) + \cos (x-y)\right]\]なので
\[\begin{align*} a_n &= \frac{1}{L}\int^L_{-L} \cos x \cos \frac{n\pi x}{L}\ dx\\[3pt] &= \frac{1}{L}\left[\frac{L}{n\pi+L}\sin(n\pi +L) + \frac{L}{n\pi-L}\sin(n\pi -L)\right]\\[3pt] &= (-1)^{n+1} \frac{2L \sin L}{n^2\pi^2 - L^2}\\[3pt] &= (-1)^{n+1} \frac{8 \sin 4}{n^2\pi^2 - 16} \end{align*}\]従って,
\[f(x)\sim \frac{1}{2}\sin 4 + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{8 \sin 4}{n^2\pi^2 - 16} \cos \frac{n\pi x}{4}\]例題
\[f(x) = \exp x \qquad (0\leq x<1)\]をフーリエ余弦級数展開とフーリエ正弦級数せよ
解答
\[\begin{align*} a_0 &= 2\int^1_0 \exp(x) dx\\ &= 2 (e - 1) \end{align*}\]フーリエ余弦級数展開
$n\neq 0$について
\[\begin{align*} I = \int^L_0\exp(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx \end{align*}\]とすると
\[\begin{align*} I &= \underbrace{\left[\exp(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\right]^L_0}_{=J}+ \frac{n\pi}{L}\int^L_0\exp(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\ dx \\[3pt] &= J + \left[\frac{n\pi}{L}\exp(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\right]^L_0 - \frac{n^2\pi^2}{L^2}\int^L_0\exp(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\ dx \\[3pt] &= J - \left(\frac{n^2\pi^2}{L^2}\right)I \end{align*}\]つまり,
\[I = \frac{L^2}{L^2 + n^2\pi^2} J\]また,
\[J = \begin{cases} \exp(L) - 1 & n \text{: even}\\ -\exp(L) - 1 & n \text{: odd} \end{cases}\]従って,
\[a_n = \frac{2}{1+ n^2\pi^2}[(-1)^ne - 1]\]よって,
\[f(x)\sim (e - 1) + \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{1+ n^2\pi^2}[(-1)^ne - 1]\cos(n\pi x )\]\[b_n = \frac{2}{L}\int^L_0\exp(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\]フーリエ正弦級数展開
このとき,
\[\begin{align*} &\int^L_0\exp(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\\[3pt] &= \left[\exp(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\right]^L_0 - \frac{n\pi}{L}\int^L_0\exp(x)\cos\frac{n\pi x}{L} dx\\[3pt] &= -\frac{n\pi}{L}\int^L_0\exp(x)\cos\frac{n\pi x}{L} dx \end{align*}\]ここで,
\[\int^L_0\exp(x)\cos\frac{n\pi x}{L} dx = \frac{L^2}{L^2 + n^2\pi^2} [(-1)^n \exp(L) - 1]\]なので
\[b_n = \frac{-2n\pi}{1 + n^2\pi^2} [(-1)^n \exp(L) - 1]\]従って,
\[f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty \frac{-2n\pi}{1 + n^2\pi^2} [(-1)^n \exp(L) - 1] \sin n\pi x\]References
統計
Python
math
Linux
Ubuntu 20.04 LTS
Shell
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git
Ubuntu 22.04 LTS
方法論
統計検定
競技プログラミング
フーリエ解析
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