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三角関数の積をフーリエ級数展開
Problem
$[0, 2\pi)$区間で定義された以下の関数を$f(x + 2\pi)=f(x)$で拡張したときのフーリエ係数を求めよ
\[\begin{align*} (1) & \qquad f(x) = \cos x \sin 2x\\ (2) & \qquad f(x) = \cos^2 x\\ (3) & \qquad f(x) = \sin^3 x \end{align*}\]解答
(1) について
偶関数と奇関数の積は奇関数なので$b_n$のみに注目すればいいとわかる.
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \cos x \sin 2x \sin nx dx\\[3pt] &= -\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x \cos (2+n)x -\cos x\cos(2-n)x dx \end{align*}\]余弦関数の直交性より $n=1, 3$のときのみ注目すればいいので
\[\begin{align*} b_1 &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos(2-1)x dx\\[3pt] &= \frac{1}{2}\\ \\ b_3 &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos(2-3)x dx\\[3pt] &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos(-x) dx\\[3pt] &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos x dx\\[3pt] &= \frac{1}{2} \end{align*}\]従って,
\[f(x) \sim \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}\sin 3x\]\[\begin{align*} \cos^2x &= \cos x \cos x\\ &= \frac{1}{2}[\cos(2x) + 1]\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x) \end{align*}\](2) について
\[\begin{align*} \sin^3 x &= \sin x\sin^2 x\\[3pt] &= \sin x \left[-\frac{1}{2}(\cos 2x - 1)\right]\\[3pt] &= -\frac{1}{2}(\sin x\cos 2x - \sin x)\\[3pt] &= -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin(-x) - \sin x\right)\\[3pt] &= \frac{3\sin x}{4} - \frac{1}{4}\sin 3x \end{align*}\](3) について
絶対値を用いた関数のフーリエ展開
Problem
$[0, 2\pi)$区間で定義された以下の関数を$f(x + 2\pi)=f(x)$で拡張したときのフーリエ係数を求めよ
\[f(x) = \vert x - \pi \vert\]解答
拡張された関数は偶関数なので$a_n$の係数のみに着目すれば良い.
\[a_0 = \frac{1}{\pi}\times \frac{2\pi\times \pi}{2} = \pi\]$n\geq 1$について
\[\begin{align*} a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert x - \pi \vert \cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_0 (\pi - x) \cos nx\ dx + \int^{2\pi}_\pi (x - \pi) \cos nx\ dx\right]\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_0 - x \cos nx\ dx + \int^{2\pi}_\pi x \cos nx\ dx\right]\\[3pt] &= -\frac{1}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n^2}\right]^\pi_0 + \frac{1}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n^2}\right]^{2\pi}_\pi\\[3pt] &= \begin{cases} 0 & n\text{: even}\\[3pt] \displaystyle \frac{4}{n^2\pi}& n\text{: odd} \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{(2n-1)^2\pi}\cos (2n-1)x\]Problem: 正弦関数と絶対値
$[0, 2\pi)$区間で定義された以下の関数を$f(x + 2\pi)=f(x)$で拡張したときのフーリエ係数を求めよ
\[f(x) = \vert \sin x \vert\]解答
拡張された関数は偶関数なので $a_n$のみに着目すれば十分
\[\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert \sin x\vert\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin x\ dx\\[3pt] &= \frac{4}{\pi}\\ \\ a_1 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert \sin x\vert\cos x dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \vert\sin x \vert\cos x dx \qquad \because{\text{偶関数同士の積}}\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin x \cos x dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \bigg[\frac{1}{2}(\sin 2x + \sin 0)\bigg]dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin 2x\ dx\\[3pt] &= 0\\ \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert \sin x\vert \cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin x \cos nx dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 (\sin (n+1)x - \sin (n-1)x)dx\\[3pt] &= \begin{cases} 0 & n:\text{odd}\\[3pt] \displaystyle -\frac{4}{\pi (n^2-1)} & n:\text{even} \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{2}{\pi} - \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{\pi(4n^2 - 1)}\cos(2nx)\]不連続だが区分的に連続な関数
方形波
Problem
区間 $[0, 2\pi]$において, $x=\pi$を除き,
\[f(x) = \frac{\pi - x}{\vert \pi - x \vert}\]と定義した不連続な関数を考える. この関数を$f(x+2\pi) = f(x)$と周期的に拡張したときのフーリエ級数展開を求めよ.
解答
\[\begin{align*}
a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \frac{\pi-x}{\vert \pi-x\vert}dx\\[3pt]
&= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \frac{\pi-x}{\pi-x}dx - \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_\pi \frac{\pi-x}{ \pi-x}dx\\[3pt]
&= 0\\
\\
a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \frac{\pi-x}{\vert \pi-x\vert} \cos nx dx\\[3pt]
&= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \cos nx dx - \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_\pi \cos nx dx \\[3pt]
&=0
\end{align*}\]
また, $b_n$については
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin nx dx - \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_\pi \sin nx dx \\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\left\{-\frac{1}{n}[\cos nx]^\pi_0 + \frac{1}{n}[\cos nx]^\pi_0\right\}\\[3pt] &= \begin{cases} \displaystyle 0 & n\text{: even}\\[3pt] \displaystyle \frac{4}{\pi n} & n\text{: odd} \end{cases} \end{align*}\]従って,
\[f(x) \sim \sum^{\infty}_{n=1} \frac{4}{\pi (2n-1)}\sin(2n-1)x\]なお, 上記のフーリエ級数展開は
\[g(x) = \begin{cases} \displaystyle 1 & (0\leq x < \pi)\\[3pt] \displaystyle -1 & (\pi\leq x < 2\pi) \end{cases}\]を$g(x+2\pi) = g(x)$と周期拡張したときのフーリエ係数と一致します.
$f(x), g(x)$が周期を同じとする連続関数の場合, フーリエ係数がすべて一致すれば
\[f(x) \equiv g(x)\]が成り立ちますが, 上記の場合は不連続関数なので係数が一致したけれども, 関数は同じとは限りません.
Problem</証明ins>
\[f(x) = \begin{cases} 1 & \qquad (-\pi/2 \leq x < \pi/2)\\ 0 & \qquad (-\pi \leq x < -\pi/2)\\ 0 & \qquad (\pi/2 \leq x < \pi) \end{cases}\]この関数を$f(x+2\pi) = f(x)$と周期的に拡張したときのフーリエ級数展開を求めよ.
解答
拡張された関数は偶関数なので $a_n$のみに着目すれば十分.
\[\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi/2}_{-\pi/2}dx\\[3pt] &= 1\\ \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi/2}_{-\pi/2}\cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{1}{n\pi}\bigg[\sin nx\bigg]^{\pi/2}_{-\pi/2}\\[3pt] &= \begin{cases} \displaystyle 0 & n: \text{even} \\[6pt] \displaystyle \frac{2}{n\pi} & n \bmod 4 \equiv 1\\[6pt] \displaystyle \frac{-2}{n\pi} & n \bmod 4 \equiv 3 \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1} \frac{2}{(2n-1)\pi}\cos(2n-1)x\]ノコギリ波
Problem</証明ins>
\[f(x) = \begin{cases} x & \qquad (0 \leq x < \pi)\\ x - \pi & \qquad (\pi \leq x < 2\pi) \end{cases}\]この関数を$f(x+2\pi) = f(x)$と周期的に拡張したときのフーリエ級数展開を求めよ.
解答
\[\begin{align*}
a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0f(x)dx\\[3pt]
&= \pi\\
\\
a_n &= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^\pi x\cos nx dx + \int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\cos nx dx\bigg]\\[3pt]
&= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^{2\pi} x\cos nx dx - \int_{\pi}^{2\pi} \pi\cos nx dx\bigg]\\[3pt]
&= 0
\end{align*}\]
一方, $b_n$については
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^\pi x\sin nx dx + \int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\sin nx dx\bigg]\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^{2\pi} x\sin nx dx - \int_{\pi}^{2\pi} \pi\sin nx dx\bigg] \end{align*}\]積分の第一項については
\[\begin{align*} \int_0^{2\pi} x\sin nx dx &= \bigg[-\frac{1}{n}x\cos nx\bigg]^{2\pi}_0\\ &= -\frac{2\pi}{n} \end{align*}\]第二項については
\[\begin{align*} \int_{\pi}^{2\pi} \pi\sin nx dx &= \bigg[-\frac{\pi}{n}\cos nx\bigg]^{2\pi}_\pi\\ &= \begin{cases} \displaystyle 0 & \text{n: even}\\[3pt] \displaystyle \frac{2\pi}{n} & \text{n: odd} \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{\pi}{2} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2n}\sin 2nx\]References
統計
Python
math
Linux
Ubuntu 20.04 LTS
Shell
English
git
方法論
Ubuntu 22.04 LTS
統計検定
競技プログラミング
フーリエ解析
前処理
SQL
coding
コミュニケーション
Network
ssh
将棋
Data visualization
Docker
Econometrics
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statistical inference
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会計分析
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