Table of Contents
三角関数の積をフーリエ級数展開
Problem
$[0, 2\pi)$区間で定義された以下の関数を$f(x + 2\pi)=f(x)$で拡張したときのフーリエ係数を求めよ
\[\begin{align*} (1) & \qquad f(x) = \cos x \sin 2x\\ (2) & \qquad f(x) = \cos^2 x\\ (3) & \qquad f(x) = \sin^3 x \end{align*}\]解答
(1) について
偶関数と奇関数の積は奇関数なので$b_n$のみに注目すればいいとわかる.
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \cos x \sin 2x \sin nx dx\\[3pt] &= -\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x \cos (2+n)x -\cos x\cos(2-n)x dx \end{align*}\]余弦関数の直交性より $n=1, 3$のときのみ注目すればいいので
\[\begin{align*} b_1 &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos(2-1)x dx\\[3pt] &= \frac{1}{2}\\ \\ b_3 &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos(2-3)x dx\\[3pt] &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos(-x) dx\\[3pt] &= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\cos x\cos x dx\\[3pt] &= \frac{1}{2} \end{align*}\]従って,
\[f(x) \sim \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}\sin 3x\]\[\begin{align*} \cos^2x &= \cos x \cos x\\ &= \frac{1}{2}[\cos(2x) + 1]\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x) \end{align*}\](2) について
\[\begin{align*} \sin^3 x &= \sin x\sin^2 x\\[3pt] &= \sin x \left[-\frac{1}{2}(\cos 2x - 1)\right]\\[3pt] &= -\frac{1}{2}(\sin x\cos 2x - \sin x)\\[3pt] &= -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin(-x) - \sin x\right)\\[3pt] &= \frac{3\sin x}{4} - \frac{1}{4}\sin 3x \end{align*}\](3) について
絶対値を用いた関数のフーリエ展開
Problem
$[0, 2\pi)$区間で定義された以下の関数を$f(x + 2\pi)=f(x)$で拡張したときのフーリエ係数を求めよ
\[f(x) = \vert x - \pi \vert\]解答
拡張された関数は偶関数なので$a_n$の係数のみに着目すれば良い.
\[a_0 = \frac{1}{\pi}\times \frac{2\pi\times \pi}{2} = \pi\]$n\geq 1$について
\[\begin{align*} a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert x - \pi \vert \cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_0 (\pi - x) \cos nx\ dx + \int^{2\pi}_\pi (x - \pi) \cos nx\ dx\right]\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_0 - x \cos nx\ dx + \int^{2\pi}_\pi x \cos nx\ dx\right]\\[3pt] &= -\frac{1}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n^2}\right]^\pi_0 + \frac{1}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n^2}\right]^{2\pi}_\pi\\[3pt] &= \begin{cases} 0 & n\text{: even}\\[3pt] \displaystyle \frac{4}{n^2\pi}& n\text{: odd} \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{(2n-1)^2\pi}\cos (2n-1)x\]Problem: 正弦関数と絶対値
$[0, 2\pi)$区間で定義された以下の関数を$f(x + 2\pi)=f(x)$で拡張したときのフーリエ係数を求めよ
\[f(x) = \vert \sin x \vert\]解答
拡張された関数は偶関数なので $a_n$のみに着目すれば十分
\[\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert \sin x\vert\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin x\ dx\\[3pt] &= \frac{4}{\pi}\\ \\ a_1 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert \sin x\vert\cos x dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \vert\sin x \vert\cos x dx \qquad \because{\text{偶関数同士の積}}\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin x \cos x dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \bigg[\frac{1}{2}(\sin 2x + \sin 0)\bigg]dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin 2x\ dx\\[3pt] &= 0\\ \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \vert \sin x\vert \cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin x \cos nx dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 (\sin (n+1)x - \sin (n-1)x)dx\\[3pt] &= \begin{cases} 0 & n:\text{odd}\\[3pt] \displaystyle -\frac{4}{\pi (n^2-1)} & n:\text{even} \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{2}{\pi} - \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{\pi(4n^2 - 1)}\cos(2nx)\]不連続だが区分的に連続な関数
方形波
Problem
区間 $[0, 2\pi]$において, $x=\pi$を除き,
\[f(x) = \frac{\pi - x}{\vert \pi - x \vert}\]と定義した不連続な関数を考える. この関数を$f(x+2\pi) = f(x)$と周期的に拡張したときのフーリエ級数展開を求めよ.
解答
\[\begin{align*}
a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \frac{\pi-x}{\vert \pi-x\vert}dx\\[3pt]
&= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \frac{\pi-x}{\pi-x}dx - \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_\pi \frac{\pi-x}{ \pi-x}dx\\[3pt]
&= 0\\
\\
a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 \frac{\pi-x}{\vert \pi-x\vert} \cos nx dx\\[3pt]
&= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \cos nx dx - \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_\pi \cos nx dx \\[3pt]
&=0
\end{align*}\]
また, $b_n$については
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin nx dx - \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_\pi \sin nx dx \\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\left\{-\frac{1}{n}[\cos nx]^\pi_0 + \frac{1}{n}[\cos nx]^\pi_0\right\}\\[3pt] &= \begin{cases} \displaystyle 0 & n\text{: even}\\[3pt] \displaystyle \frac{4}{\pi n} & n\text{: odd} \end{cases} \end{align*}\]従って,
\[f(x) \sim \sum^{\infty}_{n=1} \frac{4}{\pi (2n-1)}\sin(2n-1)x\]なお, 上記のフーリエ級数展開は
\[g(x) = \begin{cases} \displaystyle 1 & (0\leq x < \pi)\\[3pt] \displaystyle -1 & (\pi\leq x < 2\pi) \end{cases}\]を$g(x+2\pi) = g(x)$と周期拡張したときのフーリエ係数と一致します.
$f(x), g(x)$が周期を同じとする連続関数の場合, フーリエ係数がすべて一致すれば
\[f(x) \equiv g(x)\]が成り立ちますが, 上記の場合は不連続関数なので係数が一致したけれども, 関数は同じとは限りません.
Problem</証明ins>
\[f(x) = \begin{cases} 1 & \qquad (-\pi/2 \leq x < \pi/2)\\ 0 & \qquad (-\pi \leq x < -\pi/2)\\ 0 & \qquad (\pi/2 \leq x < \pi) \end{cases}\]この関数を$f(x+2\pi) = f(x)$と周期的に拡張したときのフーリエ級数展開を求めよ.
解答
拡張された関数は偶関数なので $a_n$のみに着目すれば十分.
\[\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)dx\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi/2}_{-\pi/2}dx\\[3pt] &= 1\\ \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int^{\pi/2}_{-\pi/2}\cos nx\ dx\\[3pt] &= \frac{1}{n\pi}\bigg[\sin nx\bigg]^{\pi/2}_{-\pi/2}\\[3pt] &= \begin{cases} \displaystyle 0 & n: \text{even} \\[6pt] \displaystyle \frac{2}{n\pi} & n \bmod 4 \equiv 1\\[6pt] \displaystyle \frac{-2}{n\pi} & n \bmod 4 \equiv 3 \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1} \frac{2}{(2n-1)\pi}\cos(2n-1)x\]ノコギリ波
Problem</証明ins>
\[f(x) = \begin{cases} x & \qquad (0 \leq x < \pi)\\ x - \pi & \qquad (\pi \leq x < 2\pi) \end{cases}\]この関数を$f(x+2\pi) = f(x)$と周期的に拡張したときのフーリエ級数展開を求めよ.
解答
\[\begin{align*}
a_0 &= \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0f(x)dx\\[3pt]
&= \pi\\
\\
a_n &= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^\pi x\cos nx dx + \int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\cos nx dx\bigg]\\[3pt]
&= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^{2\pi} x\cos nx dx - \int_{\pi}^{2\pi} \pi\cos nx dx\bigg]\\[3pt]
&= 0
\end{align*}\]
一方, $b_n$については
\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^\pi x\sin nx dx + \int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\sin nx dx\bigg]\\[3pt] &= \frac{1}{\pi}\bigg[\int_0^{2\pi} x\sin nx dx - \int_{\pi}^{2\pi} \pi\sin nx dx\bigg] \end{align*}\]積分の第一項については
\[\begin{align*} \int_0^{2\pi} x\sin nx dx &= \bigg[-\frac{1}{n}x\cos nx\bigg]^{2\pi}_0\\ &= -\frac{2\pi}{n} \end{align*}\]第二項については
\[\begin{align*} \int_{\pi}^{2\pi} \pi\sin nx dx &= \bigg[-\frac{\pi}{n}\cos nx\bigg]^{2\pi}_\pi\\ &= \begin{cases} \displaystyle 0 & \text{n: even}\\[3pt] \displaystyle \frac{2\pi}{n} & \text{n: odd} \end{cases} \end{align*}\]したがって,
\[f(x) \sim \frac{\pi}{2} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2n}\sin 2nx\]References
統計
Python
math
Linux
Ubuntu 20.04 LTS
Shell
English
git
方法論
Ubuntu 22.04 LTS
統計検定
競技プログラミング
フーリエ解析
前処理
SQL
coding
コミュニケーション
Network
ssh
将棋
Data visualization
Docker
Econometrics
VSCode
statistical inference
GitHub Pages
apt
development
システム管理
Coffee
cloud
数値計算
素数
Book
Font
Metrics
Poetry
Ubuntu 24.04 LTS
architecture
aws
shell
systemctl
テンプレート
データ構造
ポワソン分布
会計分析
文字コード
環境構築
論文
App
Bayesian
Dynamic Programming
Keyboard
Processing
R
Steam
filesystem
regex
(注意：GitHub Accountが必要となります）