統計

順序統計量(order statistic)と密度関数

公開日: 2023-02-01
更新日: 2023-04-06

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順序統計量とは？

Def: 順序統計量(order statistic)

$X_1, \cdots, X_n \sim F, i.i.d.,$ とするとき, これらの確率変数の値を小さい順に並び替えたものを順序統計量という:

\[X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \cdots \leq X_{(n)}\]

Def: Sample range(Statistical Range)

$X_1, \cdots, X_n \sim F, i.i.d.,$としたとき, $X_{(1)} = \min(X_i)$, $X_{(n)} = \max(X_i)$とすると, Sample range, $R$, は以下のように定義される:

\[R \equiv X_{(n)} - X_{(1)}\]

Def: Statistical median

\[Median(X_i) = \begin{cases} X_{(\frac{n+1}{2})} & \text{ if n is odd}\\[8pt] \frac{X_{(n/2)} + X_{(n/2 + 1)}}{2} & \text{ if n is even} \end{cases}\]

順序統計量の密度関数

Proposition

$X_1, \cdots, X_n \sim F, i.i.d.,$ また, $f$を $F$の密度関数とすると順序統計量 $X_{(i)}の累積分布関数及び密度関数は次のように表される:

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