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東大数学解説: 三角関数の微分と積分

公開日: 2023-08-02
更新日: 2023-08-13

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sec関数の積分

Def: セカント

\[\sec x=\frac{1}{\cos x}\]

sec関数の不定積分は $\sin x = t$と置換積分をもちいると簡単にできます.

\[\begin{align*} \int \frac{1}{\cos x} dx &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx \end{align*}\]

このとき

\[\frac{dt}{dx} = \frac{\sin x}{dx} = \cos x\]

なので

\[\begin{align*} \int \frac{1}{\cos x} dx &= \int \frac{1}{1 - t^2} dt\\ &= \int \frac{1}{(1 - t)(1 + t)} dt\\ &= \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{(1 - t)} + \frac{1}{(1 + t)}\right) dt\\ &= \frac{1}{2}\left[-\log(|1 - t|) + \log(|1 + t|)\right] + C\\ &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right) + C \end{align*}\]

東大理系数学2022第一問

次の関数 $f(x)$ を考える

\[f(x) = (\cos x)\log (\cos x) - \cos x + \int^x_0 (\cos t) \log(\cos t)dt \ \, s.t. \ \ x\in [0, \frac{\pi}{2})\]
  • (1): $f’(x)$ を求めよ
  • (2): $ x\in [0, \frac{\pi}{2})$区間内での $f(x)$の最小値を求めよ

(1) 解答

\[\begin{align*} f'(x) &= -(\sin x )\log (\cos x) - \cos x \frac{\sin x}{\cos x} + \sin x + \cos x \log(\cos x)\\ &= (\cos x - \sin x)\log (\cos x)\\ &= -\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\log (\cos x) \end{align*}\]

(2) 解答

区間内で$\log (\cos x) \leq 0$であることに注意すると,

$x$ 0 - $\pi/4$ -
$f’(x)$ 0 negative 0 positive

なので, 区間内で$x = \pi/4$のとき最小値を取る. このとき,

\[\begin{align*} \int^{\pi/4}_0 (\cos x) \log(\cos x)dx &= [(\sin x)\log (\cos x)]^{\pi/4}_0 + \int^{\pi/4}_0 \sin x \frac{\sin x}{\cos x} dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \log \frac{1}{\sqrt{2}} + \left[\frac{1}{2}\log\left(\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right) + \sin x\right]^{\pi/4}_0\\[8pt] &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \log \frac{1}{\sqrt{2}} - 1\right) + \log(\sqrt{2}+1) \end{align*}\]

したがって,

\[f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \log(\sqrt{2} + 1) - \sqrt{2}(\log(\sqrt{2})+1)\]

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