論文紹介: Potential Outcome and Directed Acyclic Graph Approaches to Causality: Relevance for Empirical Practice in Economics

今回のスコープ

• 因果推論における２つのフレームワーク，Potential outcomeとDirected acyclic graphsの紹介
• 経済学における因果推論の文脈でPotential outcomeが好まれる理由についての考察

論文要約パート

• 以下でのDAGの議論はThe Book of Why(TBOW)ベース

Reverse causal questions vs Forward causal questions

The Graphical Approach to Causality

TBOWでは，「Forward causal questions」に対して回答するプロセスをメインで取り扱っている． そして回答するにあたって２つのインプットが基本的には必要との立場を撮っている：

1. モデル内のすべての観測変数の同時確率分布に関する知識
2. 現象を説明する因果モデル

TBOW, 特にJudea Pearlのcausal questionに対するアプローチは，上記(1), (2)についてまず定式化，つまりHow the world worksのモデルを作る．その後，identification problemを定式化し，esimation and inferenceのステップに入ることである．ポイントとしては，TBOW, 特にJudea Pearl流アプローチでは，因果モデルの特定化(specification)や統計的分析はidentification問題と明確に分けて取り扱われている．

一方，Econometricsの文脈における統計的問題や手法はリサーチクエッションの性質特有のものになりがちである． そのため，Econometricsにおける文献や論文の多くはestimation method(推定手法)について取り扱ったものが多い．例として以下，

• weak instruments
• Propensity Scoreにおけるunconfoundedness
• regression discontinuity designs
• synthetic control methods

The Ladder of Causality

TBOWではcausal problemsを複雑さに応じて３つのレイヤーに分けて分類してます．

• association
• intervention
• counterfactuals

この３つのレイヤーを合わせてThe Ladder of Causalityと呼びます．

まとめると以下，

Counterfactualsレイヤーについて答えることができるならば，Intervention及びAssociationレイヤーのクエッションに答えることがでるので，CounterfactualsレイヤーはThe Ladder of Causalityのトップに位置するとよく言われる．

Directed Acyclic Graphs

確率変数間の独立性などの関係性は，POでは数式で定義するがDAGを利用することで視覚的に表現できることを以下見ていく．

まず，$X$ causes $Y$，を表したDAGをまず考える

flowchart LR
    id1((X)) --> id2((Y))
    style id1 color:white, fill:black
    style id2 color:white, fill:black

$Y$ causes $X$，というreverse causalityの場合は

flowchart RL
    id1((Y)) --> id2((X))
    style id1 color:white, fill:black
    style id2 color:white, fill:black

unobserved variable, $U$, によって発生する$X, Y$間のspurious correlationを表現する場合は

flowchart BT
    id3((U)) -.-> id1((X)) & id2((Y))
    style id3 color:black, fill:white
    style id1 color:white, fill:black

$X, Y$に加えてobserved confounder, $W$を考える場合は

flowchart LR
    id1((X)) --> id2((Y))
    id3((W)) --> id2((Y))
    id3((W)) --> id1((X))
    style id1 color:white, fill:black
    style id2 color:white, fill:black
    style id3 color:white, fill:black

このobserved confounderの例では$X, Y$の同時分布を推定するだけでは，$X$から$Y$への因果効果を識別することができない = the effect is confounded by the effect of $W$ on $X$ and $Y$．今回は, $W$が観察可能なので，$W$をコントロール(by controlling or adjusting for $W$という)した上で$X, Y$の同時分布を推定することで，$X$から$Y$への因果効果を識別することができる．

操作変数法とDAG

Unobserved variable, $U$, がconfounderとして存在しているため同時分布の推定からでは$X$から$Y$への因果効果が推定できない以下のような状況を考える．

flowchart LR
    id1((X)) --> id2((Y))
    id3((U)) -.-> id2((Y))
    id3((U)) -.-> id1((X))
    id4((Z)) --> id1((X))
    style id1 color:white, fill:black
    style id2 color:white, fill:black
    style id3 color:black, fill:white
    style id4 color:white, fill:black

これはいわゆるIVの設定．UがconfounderでZがexclusion restrictionを満たすべきという仮定をDAGは分かりやすく示しており，excluexpository tool(解説ツール)としてDAGが有用である一例を示している．

複雑なモデルにおける識別可能性の判別

• $Y$: 穀物収穫量
• $X$: 土壌改良treatment
• $Z_0$: 今シーズン期初時点でのミミズの数, unobserved
• $Z_1$: treatment実施直前時点でのミミズの数
• $Z_2$: treatment実施直後時点でのミミズの数
• $Z_3$: 今シーズン最後時点でのミミズの数
• $B$: 今シーズン期初時点の鳥（捕食者）の数, unobserved

という変数が与えられたとき，$(X, Y, Z_1, Z_2, Z_3)$の同時分布から, $X$から$Y$の効果を識別できるか？という 問題について考える．まずDAGで関係性について整理したのが以下，

flowchart LR
    id1((X)) --> id2((Y))
    id1((X)) --> id3((Z2))
    id3((Z_2)) --> id2((Y))
    id3((Z2)) --> id4((Z3))
    id4((Z3)) --> id2((Y))
    id5((Z1)) --> id3((Z2))
    id6((Z0)) -.-> id1((X))
    id6((Z0)) -.-> id5((Z1))
    id6((Z0)) -.-> id7((B))
    id7((B)) -.-> id4((Z3))
    style id1 color:white, fill:black
    style id2 color:white, fill:black
    style id3 color:white, fill:black
    style id4 color:white, fill:black
    style id5 color:white, fill:black
    style id6 color:black, fill:white
    style id6 color:black, fill:white

DAGで表現することで，複雑なモデルについても識別可能性について議論することができるというのがDAGの利点．変数が多いとDAGを表現することが事実上できないという批判もあるが，現実の分析では100以上の変数を用いて構造推定を実施するケースなどめったになく，実務分析において「変数が多いと使用しづらい」という批判はあまり考えすぎなくて良い．

References

• The Book of Why (Pearl and Mackenzie 2018)