指数関数の微分

底 a > 1 のとき，

指数関数 y = a^x は区間 −∞ < x < ∞ において連続かつ単調増大で, y ∈ (0, ∞)
対数関数 y = log_ax は y = a^x の逆関数で，区間 0 < x < ∞ において連続かつ単調増大で, y ∈ (∞, ∞)

コード

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# PARAMS
base = 2
N = 1000 # data points
min_lim = -2
max_lim = 5
x = np.linspace(min_lim, max_lim, N)

# exponential
y_exp = base ** x

# logarithm
y_log = np.log(x[x>0]) / np.log(base) 

# plot
fig, ax = plt.subplots(ncols=1)
ax.plot(x, y_exp, label='$ y = a^x$')
ax.plot(x[x>0], y_log, label='$y = \log_a x$')
ax.plot(x*0.8, x*0.8, label='45 Degree Line', linestyle='--', color='gray')
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.set_xlim(min_lim, max_lim)
ax.set_xticks([])
ax.set_yticks([])
ax.text(0, 0, 'O', fontsize=12, ha='right')
ax.text(1, -0.5, '1', fontsize=12, ha='right')
ax.text(0, 1, '1', fontsize=12, ha='right')
ax.set_ylim(min_lim, max_lim)
ax.set_xlabel('$x$')
ax.set_ylabel('$y$')
for spine in ax.spines.values():
    spine.set_visible(False)
ax.legend()

定理 1

任意の a > 0 に対して，y = a^x の導関数は

$$ \frac{d(a^x)}{dx} = a^x\log a $$

Proof

a > 1 のケースを考える

$$ \begin{align} \frac{d(a^x)}{dx} &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h}\\ &= a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^{h} - 1}{h}\label{base-eq} \end{align} $$

▶ h > 0の場合

h > 0 であるならば，a^h > 1．よって

$$ a^h = 1 + \frac{1}{t} $$

とおくと，t > 0．指数関数の連続性より，h → 0 のとき，a^h → 1. 従って，t → ∞．

ここで，$\displaystyle h = \log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)$ より

$$ \begin{align} \frac{a^{h} - 1}{h} & = \frac{1/t}{\log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)}\\ &= \frac{1}{\log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t} \end{align} $$

$$ \lim_{t\to\infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e $$

対数関数 log_a(x) は連続関数なので，h → 0 のとき，$\log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\to \log_a e$．従って，

$$ \begin{align} \lim_{h\to 0}\frac{a^{h} - 1}{h} &= \frac{1}{\log_a e}\\ &= \log a \end{align} $$

▶ h < 0の場合

h = −z を満たす z > 0 を考える．このとき，

$$ \begin{align} \frac{a^h - 1}{h} &= \frac{a^{-z} - 1}{-z}\\ &= \frac{1 - a^z}{-z}\frac{1}{a^z}\\ &= \frac{a^z - 1}{z}\frac{1}{a^z} \end{align} $$

z → 0 のとき，a^z → 1 なので

$$ \frac{a^h - 1}{h}\to \log a $$

従って，a > 1 のとき，$\displaystyle \frac{d(a^x)}{dx} = a^x \log a$

▶ 0 < a < 1 の場合

と展開したとき，h > 0 のとき a^h < 1 となるので

$$ a^h = 1 - \frac{1}{t}\qquad(t>0) $$

指数関数の連続性より, h → 0 のとき，a^h → 0，従って，t → ∞．

$$ \begin{align} \frac{a^h-1}{h} &= \frac{-\frac{1}{t}}{\log_a(1 - \frac{1}{t})}\\ &= -\frac{1}{\log_a(1 - \frac{1}{t})^{t}} \end{align} $$

ここで

$$ \lim_{t\to\infty} (1 - \frac{1}{t})^{t} = \frac{1}{e} $$

であるので，対数関数の連続性より，h → 0 のとき h → ∞ だから

$$ \log_a\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{t}\to \log_a\frac{1}{e} = -\log_a e $$

従って，

$$ \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \log a $$

h < 0 の場合も同様に示せるので，以上より

任意の a > 0 に対して，y = a^x の導関数は

$$ \frac{d(a^x)}{dx} = a^x\log a $$

が成立する．

対数微分法を用いた直感的理解

a > 0 としたとき，

log a^x = xlog a

このとき，両辺を x で微分すると

$$ \frac{D(a^x)}{a^x} = \log a $$

従って，

D(a^x) = a^xlog a

を得る．