指数関数の微分

底 \(a>1\) のとき，

指数関数 \(y = a^x\) は区間 \(-\infty < x < \infty\) において連続かつ単調増大で, \(y \in (0, \infty)\)
対数関数 \(y = \log_a x\) は \(y = a^x\) の逆関数で，区間 \(0 < x < \infty\) において連続かつ単調増大で, \(y \in (\infty, \infty)\)

Code

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# PARAMS
base = 2
N = 1000 # data points
min_lim = -2
max_lim = 5
x = np.linspace(min_lim, max_lim, N)

# exponential
y_exp = base ** x

# logarithm
y_log = np.log(x[x>0]) / np.log(base) 

# plot
fig, ax = plt.subplots(ncols=1)
ax.plot(x, y_exp, label='$ y = a^x$')
ax.plot(x[x>0], y_log, label='$y = \log_a x$')
ax.plot(x*0.8, x*0.8, label='45 Degree Line', linestyle='--', color='gray')
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.set_xlim(min_lim, max_lim)
ax.set_xticks([])
ax.set_yticks([])
ax.text(0, 0, 'O', fontsize=12, ha='right')
ax.text(1, -0.5, '1', fontsize=12, ha='right')
ax.text(0, 1, '1', fontsize=12, ha='right')
ax.set_ylim(min_lim, max_lim)
ax.set_xlabel('$x$')
ax.set_ylabel('$y$')
for spine in ax.spines.values():
    spine.set_visible(False)
ax.legend()

Theorem 1

任意の \(a > 0\) に対して，\(y = a^x\) の導関数は

\[ \frac{d(a^x)}{dx} = a^x\log a \]

Proof

\(a > 1\) のケースを考える

\[ \begin{align} \frac{d(a^x)}{dx} &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h}\\ &= a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^{h} - 1}{h}\label{base-eq} \end{align} \]

▶ \(h > 0\)の場合

\(h > 0\) であるならば，\(a^h > 1\)．よって

\[ a^h = 1 + \frac{1}{t} \]

とおくと，\(t > 0\)．指数関数の連続性より，\(h\to 0\) のとき，\(a^h\to 1\). 従って，\(t\to\infty\)．

ここで，\(\displaystyle h = \log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)\) より

\[ \begin{align} \frac{a^{h} - 1}{h} & = \frac{1/t}{\log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)}\\ &= \frac{1}{\log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t} \end{align} \]

\[ \lim_{t\to\infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e \]

対数関数 \(\log_a(x)\) は連続関数なので，\(h\to 0\) のとき，\(\log_a\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\to \log_a e\)．従って，

\[ \begin{align} \lim_{h\to 0}\frac{a^{h} - 1}{h} &= \frac{1}{\log_a e}\\ &= \log a \end{align} \]

▶ \(h < 0\)の場合

\(h = -z\) を満たす \(z>0\) を考える．このとき，

\[ \begin{align} \frac{a^h - 1}{h} &= \frac{a^{-z} - 1}{-z}\\ &= \frac{1 - a^z}{-z}\frac{1}{a^z}\\ &= \frac{a^z - 1}{z}\frac{1}{a^z} \end{align} \]

\(z\to 0\) のとき，\(a^z \to 1\) なので

\[ \frac{a^h - 1}{h}\to \log a \]

従って，\(a > 1\) のとき，\(\displaystyle \frac{d(a^x)}{dx} = a^x \log a\)

▶ \(0 < a < 1\) の場合

\(\eqref{base-eq}\) と展開したとき，\(h>0\) のとき \(a^h < 1\) となるので

\[ a^h = 1 - \frac{1}{t}\qquad(t>0) \]

指数関数の連続性より, \(h\to 0\) のとき，\(a^h\to 0\)，従って，\(t\to\infty\)．

\[ \begin{align} \frac{a^h-1}{h} &= \frac{-\frac{1}{t}}{\log_a(1 - \frac{1}{t})}\\ &= -\frac{1}{\log_a(1 - \frac{1}{t})^{t}} \end{align} \]

ここで

\[ \lim_{t\to\infty} (1 - \frac{1}{t})^{t} = \frac{1}{e} \]

であるので，対数関数の連続性より，\(h\to 0\) のとき \(h\to\infty\) だから

\[ \log_a\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{t}\to \log_a\frac{1}{e} = -\log_a e \]

従って，

\[ \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \log a \]

\(h<0\) の場合も同様に示せるので，以上より

任意の \(a > 0\) に対して，\(y = a^x\) の導関数は

\[ \frac{d(a^x)}{dx} = a^x\log a \]

が成立する．

対数微分法を用いた直感的理解

\(a > 0\) としたとき，

\[ \log a^x = x\log a \]

このとき，両辺を \(x\) で微分すると

\[ \frac{D(a^x)}{a^x} = \log a \]

従って，

\[ D(a^x) = a^x\log a \]

を得る．