18世紀までの関数論とテイラー展開

解析
作者

Ryo Nakagami

公開

2025-02-01

関数

Def: 関数

X ⊂ ℝn, Y ⊂ ℝn とする．X から Y への関数（実関数）とは，X の任意の元 x に対して，Y の１つの元を対応させる規則をいう． このような X から Y への関数を

f : X → Y

を記述し，集合 X を関数 f の定義域(domain)，Y を値域(range) という．

y = x2 としたとき，y は区間 (−∞, ∞) における x の関数と呼ばれます．関数の例としては以下，

コード 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-1, 1, 100)

plt.plot(x, x**2)
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.show()

plt.plot(x , np.sqrt(1 - x**2))
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.show()

y = x2

$y = \sqrt{1 - x^2}$

▶  古典的な関数

歴史的に関数はまず，

  • 四則演算で表される代数式（x2 + 2x + 1, $x + \frac{1}{x}$, $x + \sqrt{4x^2 + 1}$）
  • 独立変数の代数式で表せない超越関数（ax, log x, sin x, arctan x）

に限られていました．これら関数は，各点周りでテイラー展開ができるという特徴があります．

平均値の定理からTaylorの公式へ

定理 1 : 平均値の定理

区間 [a, b] において，f(x), g(x) は連続で, (a, b) において微分可能とする．このとき，ある点 ξ ∈ (a, b) において，

$$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}\label{eq-mean-value} $$

ただし，g(a) ≠ g(b)．f′(x), g′(x) は区間内で同時に 0 にならないと仮定する．

ノートProof

F(x) − μf(x) − λg(x) とおき，F(a) = F(b) = k となるように適当に λ : μ を定める．

このとき，

$$ \begin{gather} \mu f(a) - \lambda g(a) = \mu f(b) - \lambda g(b)\\ \Rightarrow \mu (f(b) - f(a)) = \lambda (g(b) - g(a))\\ \Rightarrow \mu (f(b) - f(a)) = \lambda (g(b) - g(a))\\ \Rightarrow \mu = g(b) - g(a), \lambda = f(b) - f(a) \end{gather} $$

として，

F(x) = {g(b) − g(a)}f(x) − {f(b) − f(a)}g(x)

ここで，G(x) = F(x) − k を考える．有界閉区間 [a, b] において f(x), g(x) は連続であるので，有界閉区間 [a, b] において F(x) および G(x) も連続関数である．関数の連続性より， とある ξ ∈ [a, b] で G(x) は最大値 G(ξ) = M < ∞ をとる．

M > 0 のとき，

x = ξ において ΔG ≤ 0. 故に

  • Δx > 0 とすれば $\displaystyle\frac{\Delta G}{\Delta x} \leq 0$, 従って，G′(ξ) ≤ 0
  • Δx < 0 とすれば $\displaystyle\frac{\Delta G}{\Delta x} \geq 0$, 従って，G′(ξ) ≥ 0

従って，G′(ξ) = 0. M = 0 のときは，同様に最小値 G(ξ) = M > −∞ を考えると G′(ξ) ≥ 0 を得る．最小値と最大値が 0 の場合は G(x) が常に 0 であるので，x ∈ (a, b) において G′(x) = 0 は自明．

このとき，F(x) − k = G(x) より

$$ \begin{align} F^\prime(\xi) = \{g(b)-g(a)\}f^\prime(\xi) - \{f(b)-f(a)\}g^\prime(\xi) = 0 \end{align} $$

よって，

$$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)} $$

が成立する．

平均値の定理を幾何学的に考察してみます．独立変数 t について，曲線

x = f(t), y = g(t)   t ∈ [a.b]

を考えます．このとき，t = a, t = b に対応する (x, y) をそれぞれ A, B とすると， のLHSが弦ABの勾配に対応します． このとき，x = f(t), y = g(t) の曲線上のとある点 P : t = ξ の接線が弦ABの勾配と平行になることを定理は示しています．f′(x), g′(x) は区間内で同時に 0 にならないと仮定は，曲線が各点において 確定の接線を有することを意味します．

コード 
def func_x(x):
    return np.sin(x) + x

def func_y(x):
    return x * np.log(x) ** 2

def tangent(x, x_0):
    return func_y(x_0) + (x- func_x(x_0)) * (np.log(np.pi/2) ** 2.5)


t = np.linspace(1e-18, np.pi/2, 1000)
t2 = np.linspace(1.8, 2.6, 100)
x, y = func_x(t), func_y(t)
t_0 = 1.11

# plot
plt.plot(x, y, linewidth=2)

# # add line
plt.plot([0, func_x(np.pi/2)], [0, func_y(np.pi/2)], color="gray")
plt.text(-0.01, -0.03, "A")
plt.text(2.55, 0.33, "B")

# # add tangent
# plt.text(x_0, sample_func(x_0)+1e-4, "P: x = $\exp(-2)$")
plt.scatter(func_x(t_0), func_y(t_0), color="gray", linestyle="dotted")
plt.text(func_x(t_0), -0.02, "P")
plt.plot(t2, tangent(t2, t_0))

plt.show()

図 1: t ∈ [0, π/2] 区間で定義された $x = \sin(t) +t, y = \begin{cases}t(\log(t))^2 & (t\in(0, \pi/2))\\0 & t = 0\end{cases}$
ヒント🍵 Green Tea Break

実数空間 ℝ の部分集合 I で定義された関数 f(x) が区間 I の点 a において連続であるとは

limx → af(x) = f(a)

が成り立つことをいいます．

$$ f(t) = \begin{cases}t(\log(t))^2 & (t\in(0, \pi/2))\\0 & t = 0\end{cases} $$

はロピタルの定理を用いると，

$$ \begin{align} \lim_{t\to 0} t(\log(t))^2 &= \lim_{t\to 0} \frac{(\log(t))^2}{t^{-1}}\\ &= \lim_{t\to 0} \frac{2(\log(t))\frac{1}{t}}{-t^{-2}}\\ &= \lim_{t\to 0} \frac{2(\log(t))}{-t^{-1}}\\ &= \lim_{t\to 0} \frac{2t^{-1}}{t^{-2}}\\ &= \lim_{t\to 0} 2t = 0 \end{align} $$

以上のように連続性を示すことが出来ます．

Taylorの公式

定理 2

ある区間において．f(x) は第 n 階まで微分可能とする．このときその区間において，a は定点，x を任意の点とするとき

$$ \begin{gather} f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} + \frac{f^{(n)}(\xi)}{(n)!}(x-a)^{n}\label{eq-taylor}\\ \text{s.t } \quad \xi = a + \theta(x-a), \qquad 0 <\theta<1 \end{gather} $$

$\frac{f^{(n)}(\xi)}{(n)!}(x-a)^{n}$ は Rn と表されることもあり，剰余項とよびます．

ノートProof

$$ F(x) = f(x) - \{f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}\}\label{eq-residual} $$

とおく．このとき，定義より

F(a) = F′(a) = F′′(a) = ⋯ = Fn − 1(a) = 0

ここで，

G(x) = (x − a)n

と定義すると第 n 階まで微分可能であり，また G(a) = 0．このとき，中間値の定理より

$$ \begin{align} \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} &= \frac{F(x)}{G(x)}\\ &= \frac{F(x)}{(x-a)^n}\\ &= \frac{F^\prime(x_1)}{n(x_1-a)^{n-1}} \qquad x_1 \in (a, x) \end{align} $$

同様に

$$ \frac{F^\prime(x_1)}{n(x_1-a)^{n-1}} = \frac{F^{\prime\prime}(x_2)}{n(n-1)(x_2-a)^{n-2}} \qquad x_2 \in (a, x_1) $$

f(x) は第 n 階まで微分可能であるので，F(x) も第 n 階まで微分可能．従って，

$$ \frac{F(x)}{(x-1)^n} = \frac{F^{n}(\xi)}{n!} \qquad \exists\xi \in (a, x) $$

つまり

$$ F(x) = \frac{F^{n}(\xi)}{n!}(x-a)^n $$

これを に代入して整理すると を得る．

整式はそれ自身が有限個の項で完結したテイラー展開のしていますし，無限等比級数の公式

$$ \frac{1}{1 + r} = 1 - r + r^2 - r^3 + \cdots = \sum_{i=0}(-r)^i \qquad (-1 < r < 1) $$

は x = 1 周りでの関数 f(x) = 1/x のテイラー展開となっており，x = 1 + r とすると

$$ \begin{align} \frac{1}{1+r} &= 1 + \frac{(-1)}{1!}r + \frac{(-1)\times(-2)}{2!}r^2 + \frac{(-1)\times(-2)\times(-3)}{3!}r^3 + \cdots\\ &= 1 - r + r^2 - r^3 + \cdots \end{align} $$

と確認することが出来ます．三角関数も

$$ \begin{align} \cos x &= 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 - \cdots\\ \sin x &= x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \cdots \end{align} $$

とテイラー展開することが出来ます．そのため，18世紀までの数学界では，関数は各点周りで冪級数にテイラー展開できるので，微分や積分もテイラー展開を応用して形式的な代数的計算で十分と考えられてました． 19世紀になると任意の関数 f(x) は

$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx + b_n \sin nx) $$

で表すことができるのではないか？という主張が登場し，関数，微分，積分の理論の見直しの必要性が認識されるようになりました．

例 1 : テイラー展開の例

次の関数の点 a のまわりのテイラー展開を剰余項を含めて h3 まで書き下すと以下のようになります

$$ \begin{align} \log(a+h) &= \log(a) + \frac{h}{a} - \frac{1}{2}\frac{h^2}{a^2} + \frac{1}{3}\frac{h^3}{(a+\theta h)^3}\\ (a+h)^\beta &= a^\beta + \beta a^{\beta-1}h + \frac{\beta(\beta-1)}{2!}a^{\beta-2}h^2+ \frac{\beta(\beta-1)(\beta-2)}{3!}(a+\theta h)^{\beta-3}h^3 \end{align} $$

ただし，0 < θ < 1 とします．

Taylor展開の応用: e が無理数であることの証明

f(x) = exp (x) を マクローリン展開すると

$$ \exp(x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_{n+1} $$

x = 1 としたとき，

$$ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + R_{n+1} $$

剰余項 Rn + 10 は

$$ R_{n+1} = \frac{\exp(\theta)}{(n+1)!} > 0 \quad \exists\theta \in (0, 1) $$

つまり，

$$ R_{n+1} = \frac{\exp(\theta)}{(n+1)!} < \frac{3}{(n+1)!} $$

ここで，e を有理数として e = m/n と既約分数で表せると仮定する．このとき，n!e は仮定より整数となるので

$$ 1 \leq n!R_{n+1} = \frac{\exp(\theta)}{n+1} < \frac{3}{n+1} $$

従って，n + 1 < 3 つまり n < 2，従って，n = 1 を得る．このとき，m は整数なので e = m となるが 2 < e < 3 より矛盾．従って，e は無理数となる．