関数の連続性

解析
作者

Ryo Nakagami

公開

2025-02-03

連続関数

変数 x が限りなく a に近づくとき，f(x) も f(a) に近づくならば，f(x) は x = a において連続である，といいます．つまり，

x → a ならば f(x) → f(a)

Def: ϵ-δ 論法的連続性

任意の ϵ > 0 に対して，ある δ > 0 が存在して，

|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ϵ

を満たすとき，x = a において f(x) は連続であるという．

例 1

$f(x) = \sqrt{x}$ について，a > 0 で連続であることを以下示します．

$$ \begin{align} \vert \sqrt{x} - \sqrt{a} \vert &= \left\vert\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right\vert\\ &= \left\vert\frac{x - a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right\vert\\ &\leq \left\vert\frac{x - a}{\sqrt{a}}\right\vert \end{align} $$

ここで，$\vert x - a\vert < \delta(\epsilon) = \epsilon\sqrt{a}$ と定めると

$$ \vert x - a\vert < \delta(\epsilon) \Rightarrow \vert \sqrt{x} - \sqrt{a}\vert < \epsilon $$

例 2 : 三角関数の連続性

x = a + h とおくと，和積の公式を用いて

$$ \begin{align} \vert \sin(x) - \sin(a) \vert &= 2\left\vert \cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2} \right\vert\\ &= 2\left\vert \cos\left(a + \frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2} \right\vert\\ &\leq 2\left\vert\frac{h}{2}\right\vert \cdot 1\\ &=\vert h \vert \end{align} $$

$\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ であるので，sin x が連続であるならば, cos x も連続．

定理 1 : 連続関数の定数倍

f(x) は x = a で連続であるとします．このとき，定数 c を用いた cf(x) も x = a にて連続となります．

ノートProof

仮定より

∀η > 0, ∃δ(η) > 0, |x − a| < δ(η) ⇒ |f(x) − f(a)| < η

このとき，任意の ϵ > 0 に対して，

$$ \eta = \frac{\epsilon}{\vert c \vert} >0 $$

と対応させると，

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta(\epsilon) > 0, \vert x - a\vert < \delta(\epsilon)\Rightarrow\vert f(x) - f(a)\vert < \frac{\epsilon}{\vert c \vert } $$

つまり，

∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0, |x − a| < δ(ϵ) ⇒ |c||f(x) − f(a)| < ϵ

これを変形すると

∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0, |x − a| < δ(ϵ) ⇒ |cf(x) − cf(a)| < ϵ

定理 2 : 連続関数の和


f(x), g(x) は x = a で連続であるとします．このとき，f(x) + g(x) も x = a にて連続となります．

ノートProof

仮定より

$$ \begin{align} \vert x - a \vert < \delta&\Rightarrow \vert f(x) - f(a)\vert < \epsilon/2\\ \vert x - a \vert < \eta&\Rightarrow \vert g(x) - g(a)\vert < \epsilon/2 \end{align} $$

ここで，M = min (δ, η) とすると，

$$ \begin{align} \vert x - a \vert < M&\Rightarrow \vert f(x) - f(a)\vert < \epsilon/2\\ \vert x - a \vert < M&\Rightarrow \vert g(x) - g(a)\vert < \epsilon/2 \end{align} $$

また

$$ \begin{align} \vert(f(x) - g(x)) - (f(a) + g(a)) &= \vert(f(x) - f(a)) + (g(x) + g(a))\vert\\ &\leq \vert(f(x) - f(a))\vert + \vert (g(x) + g(a))\vert \end{align} $$

従って，|x − a| < M であるならば

$$ \begin{align} \vert (g(x) + f(x)) - (g(a) + f(a))\vert \leq \vert(f(x) - f(a))\vert + \vert (g(x) + g(a))\vert < \epsilon \end{align} $$

定理 3 : 連続関数の線型結合

f(x), g(x) は x = a で連続であるとします．このとき，定数 c1, c2に対して c1f(x) + c2g(x) も x = a にて連続となります．

ノートProof

$$ \begin{align} \vert x - a \vert < \delta&\Rightarrow \vert f(x) - f(a)\vert < \frac{\epsilon}{2\vert c_1\vert}\\ \vert x - a \vert < \eta&\Rightarrow \vert g(x) - g(a)\vert < \frac{\epsilon}{2\vert c_2\vert} \end{align} $$

として，M = min (δ, η) とすれば，上記と同様に連続性を示すことができます．

定理 4 : 連続関数の積

f(x), g(x) は x = a で連続であるとします．このとき，f(x)g(x) も x = a にて連続となります．

ノートProof

|x − a| < δ(1) ⇒ |f(x) − f(a)| < 1

とすると，

|x − a| < δ(1) ⇒ |f(x)| < 1+|f(a)|

δ, η を以下のように定め，

$$ \begin{align} \vert x - a \vert < \delta &\Rightarrow \vert f(x) - f(a)\vert < \frac{\epsilon}{2(1 + \vert f(a) \vert + \vert g(a) \vert)}\\ \vert x - a \vert < \eta &\Rightarrow \vert g(x) - g(a)\vert < \frac{\epsilon}{2(1 + \vert f(a) \vert + \vert g(a) \vert)} \end{align} $$

δ(ϵ) = min (δ(1), δ, η)

とすると，

$$ \begin{align} \vert x - a \vert < \delta(\epsilon) \Rightarrow &\vert f(x)g(x) - f(a)g(a)\vert\\[5pt] &= \vert f(x)(g(x) - g(a)) + g(a)(f(x) - f(a))\vert\\[5pt] &\leq \vert f(x)\vert \vert(g(x) - g(a))\vert + \vert g(a)\vert\vert(f(x) - f(a))\vert\\[5pt] &< (1 + \vert f(a) \vert)\frac{\epsilon}{2(1 + \vert f(a) \vert + \vert g(a) \vert)} + \vert g(a)\vert \frac{\epsilon}{2(1 + \vert f(a) \vert + \vert g(a) \vert)}\\ &= \epsilon \end{align} $$

よって，連続性が示された．

定理 5 連続関数の逆数

f(x) は x = a で連続であるとします．このとき，f(a) ≠ 0 であるならば 1/f(x) も x = a にて連続となります．

ノートProof

連続性の仮定より

$$ \vert x - a \vert < \delta(\vert f(a)/2\vert) \Rightarrow \vert f(x) - f(a)\vert < \frac{\vert f(a)\vert}{2} $$

とすると，

$$ \vert x - a \vert < \delta(\vert f(a)/2\vert) \Rightarrow \frac{\vert f(a)\vert}{2} < \vert f(x)\vert $$

このとき，

$$ \begin{align} \left\vert \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(a)} \right\vert &= \left\vert \frac{f(x) - f(a)}{f(x)f(a)} \right\vert\\ &< \left\vert \frac{f(x) - f(a)}{(f(a))^2 / 2} \right\vert \end{align} $$

従って，$\vert x - a \vert < \eta \Rightarrow \vert f(x) - f(a)\vert < \displaystyle\frac{\epsilon\vert (f(a))^2\vert}{2}$ となるような η を用いて，

δ(ϵ) = min (δ(|f(a)/2|), η)

とすれば

$$ \vert x - a \vert < \delta(\epsilon) \Rightarrow \left\vert \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(a)} \right\vert < \epsilon $$

右連続と左連続

点 a における極限を考えるとき，

  • x が増大しつつ a に（左側から）近づく, limx → a − 0
  • x が減少しつつ a に（右側から）近づく, limx → a + 0

それぞれの場合を分けて取り扱うことがあります．

例 3

f(x) = tan x について，x = π/2 における極限を考えてみます．

コード 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sy

x = sy.Symbol('x')
f = sy.tan(x)

x_vals = np.linspace(-np.pi/2+1e-6, np.pi, 400)
y_vals = np.tan(x_vals)

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_vals, y_vals, label=r'$f(x) = \tan(x)$')
plt.ylim(-10, 10)
plt.xticks([-np.pi/2, 0, np.pi/2, np.pi], [r'$-\frac{\pi}{2}$', '0', r'$\frac{\pi}{2}$', r'$\pi$'])
plt.axvline(np.pi/2, color='r', linestyle='--', label=r'$x = \frac{\pi}{2}$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.title(r'Plot of $f(x) = \tan(x)$ around $x = \frac{\pi}{2}$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

図 1

上記の図のように，

$$ \begin{align} \lim_{x\to \pi/2+0} \tan x &= -\infty\\ \lim_{x\to \pi/2-0} \tan x &= \infty \end{align} $$

実際に，sympy で確認してみると

# DO NOT USE np.pi
print(f"左極限: {sy.limit(sy.tan(x), x, sy.pi/2, '-')}")
print(f"右極限: {sy.limit(sy.tan(x), x, sy.pi/2, '+')}")
左極限: oo
右極限: -oo

▶  右連続と左連続

$$ \begin{align} f(a) &= \alpha\\[5pt] \lim_{x\to a-0} f(x) &= \alpha\\ \lim_{x\to a+0} f(x) &= \beta \neq \alpha \end{align} $$

のとき，f(x) は x = a において左連続といいます．

f(x) が閉区間 [a, b] において定義されているとき，

  • x = a においては右連続
  • x = b においては左連続

であることを意味します．開区間 (a, b) において定義されているとき，f(a + 0) が確定ならば，それを f(a) として定義域を [a, b) 区間に拡張すると f(x) は x = a において右連続になります．

一方，(0, ∞) 区間で定義された関数 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ は開区間では連続ですが，x = 0 のときは定義されません．このとき，f(0) = 0 として定義域を [0, ∞) に拡張すると，x = 0 で連続な関数にはなりませんし，f(0) をどんな値にしたとしても，x = 0 の近傍において, f(x) はいくらでも大きくなってしまうので，連続な関数にはなりません．

📘 REMARKS

  • 開区間 (a, b) で定義された連続な関数が，開区間 [a, b] の連続な関数に拡張できるとは限らない

例 4 : 右連続関数と累積分布関数

離散確率変数 X ∼ Bin (5, 1/3) を考えます．離散確率変数の累積分布関数 F(x) は

F(x) = P (X ≤ x) = ∑y ≤ xp(y)   p(y) : 確率関数

と定義されるので，F(x) は右側連続となります．実際に

コード 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import binom

n, p = 5, 1 / 3
x = np.arange(0, 6)
cdf = binom.cdf(x, n, p)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
ax.hlines(cdf, x, x + 1, color="gray")
ax.step(x, cdf, where="post", color="gray", linestyle="dotted")
ax.plot(x, cdf, "o", color="gray")
ax.scatter(x[:-1] + 1, cdf[:-1], marker="$\u25EF$", alpha=0.5, color="gray")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("F(x)")
ax.set_title("CDF of Binomial Distribution (n=5, p=1/3)")
plt.show()

図 2

このとき，確率関数は

p(x) = F(x) − limxn → x − 0F(xn)

とすることで計算することが出来ます．一方，F(x) = P (X < x) と定義すると左連続となります．

関数の拡張

$$ f(x) = \frac{\sin x}{x} $$

を考えます．この関数は x − 0 で定義されていないですが

$$ \begin{align} f(x) = \left\{\begin{array}{c} \frac{\sin x}{x} & (x\neq 0)\\ 1 & (x = 0) \end{array}\right. \end{align} $$

と x = 0 で連続かつ微分可能になるように拡張することが出来ます．この拡張された関数を特にsinc関数と呼びます．

コード 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the sinc function
def sinc(x):
    return np.sinc(x / np.pi)

def inverse_x(x):
    return 1/x

# Generate x values
x_vals = np.linspace(-10*np.pi, 10*np.pi, 400)
y_vals = sinc(x_vals)

# Plot the sinc function
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_vals, y_vals, label=r'$f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$')
plt.plot(x_vals, inverse_x(x_vals), label=r'$f(x) = \frac{1}{x}$')
plt.xticks(np.arange(-10*np.pi, 11*np.pi, np.pi), 
           [r'$-10\pi$', r'$-9\pi$', r'$-8\pi$', r'$-7\pi$', r'$-6\pi$', r'$-5\pi$', r'$-4\pi$', r'$-3\pi$', r'$-2\pi$', r'$-\pi$', '0', r'$\pi$', r'$2\pi$', r'$3\pi$', r'$4\pi$', r'$5\pi$', r'$6\pi$', r'$7\pi$', r'$8\pi$', r'$9\pi$', r'$10\pi$'])
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.title(r'Plot of $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.ylim(-1.1, 1.1)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

図 3

▶  x = 0における連続性の証明

ノートProof

偶関数の性質

$$ \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin -x}{-x} $$

より 0 < x → +0 の場合を考えます．xy座標上に O = (0, 0)，A = (1, 0)，B = (cos x, sin x)，C = (1, tan x) という点をとったとき，

三角形OAB ⊂ 扇形OAB ⊂ 三角形OAC

つまり

三角形OABの面積 ≤ 扇形OABの面積 ≤ 三角形OAC

従って，

$$ \begin{align} \frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} < \frac{\tan x}{2} \end{align} $$

両辺 を sin ⁡x で割って逆数をとると

$$ \begin{align} \cos x \leq \frac{x\sin x}{x} < 1 \end{align} $$

ここで，x → +0 とすると，cos x → 1 となり，はさみうちの原理より

$$ \lim_{x\to+0}\frac{\sin x}{x} = 1 $$

▶  x = 0における微分可能性の証明

ノートProof

$$ \begin{align} \cos x \leq \frac{x\sin x}{x} < 1 \end{align} $$

が $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ で成り立つので

$$ 0=\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x}\le\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin(x)}x-1}{x-0}\le0 $$

$$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}x &=\lim_{x\to0}\frac1x\frac{\sin^2(x)}{1+\cos(x)}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}x\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\\[6pt] &=1\cdot0 = 0 \end{align} $$

従って，はさみうちの原理より f′(0) = 0