3辺から三角形の面積を求める
定理 1 : ヘロンの公式
△ABC の3辺の長さがそれぞれ a, b, c で与えられているとき，
$$ s = \frac{1}{2}(a + b + c) $$
とおくと，△ABC の面積 S は
$$ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
3辺の長さがわかっているので，余弦定理より
$$ \begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A\\ \Rightarrow &\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \end{align} $$
sin2A + cos2A = 1 より
$$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} $$
従って，面積 S は
$$ S = \frac{1}{2}bc\sqrt{1 - \cos^2 A} $$
これを展開すると
$$ \begin{align} S &= \frac{1}{2}bc\sqrt{1 - \cos^2 A}\\ &= \frac{1}{2}bc\sqrt{1 - \frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2 - \left(\frac{(b^2+c^2-a^2)}{2}\right)^2}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\left(-\frac{b^2+c^2-a^2-2bc}{2}\right)\left(\frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{2}\right)}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\left(-\frac{(b-c)^2-a^2}{2}\right)\left(\frac{(b+c)^2-a^2}{2}\right)}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{2}\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{(a+b-c)}{2}\frac{(a+c-b)}{2}\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(b+c-a)}{2}}\\ &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $$
下記のように △ABC について内心 D と傍心 G を考えます．
前準備として △ABC のそれぞれの角の対辺を a, b, c として
$$ s = \frac{1}{2}(a + b + c) $$
と変数 s を定義します．また，内接円の性質（各頂点の内角の二等分線上に内心が存在）より
$$ \begin{align} AH &= AN\\ CN &= CI\\ BH &= BI \end{align} $$
従って，
$$ \begin{align} AH &= s - a\\ BH &= s - b\\ CN &= s = c \end{align} $$
傍接円の傍心 G は
- ∠A の二等分線上
- B と Cの外角の二等分線上
に存在することから
AL = AE
また，
$$ \begin{align} AL + AE &= (AC + CL) + (AB + BE)\\ &= (AC + CO) + (AB + BO)\\ &= a + b + c\\ &= 2s \end{align} $$
従って，
AL = AE = s
内接円の内心 D が ∠B, ∠C の二等分線上に存在するので
$$ \begin{align} 180^\circ &= 2\angle HBD + 2\angle EBG\\ \Rightarrow & 90^\circ = \angle HBD + \angle EBG \end{align} $$
従って，
$$ \begin{align} \angle BDH &= \angle EBG \angle HBD &= \angle BGE \end{align} $$
ここから
△HBD ∼ △EGB
これより
$$ \frac{s - b}{r_1}=\frac{r_2}{s - c} $$
これを整理すると
r1r2 = (s − b)(s − c)
また，△HDE と △HDO の面積が等しいことから
sr1 = (s − a)r2
, を 掛け合わせて r2 を両辺から除して s を両辺にかけると
s2r12 = s(s − a)(s − b)(s − c)
従って
$$ sr_1 = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
LHSは △ABC の面積と一致するので，これでヘロンの公式が示された．