3辺から三角形の面積を求める
Theorem 1 : ヘロンの公式
\(\triangle ABC\) の3辺の長さがそれぞれ \(a, b, c\) で与えられているとき，
\[ s = \frac{1}{2}(a + b + c) \]
とおくと，\(\triangle ABC\) の面積 \(S\) は
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
3辺の長さがわかっているので，余弦定理より
\[ \begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A\\ \Rightarrow &\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \end{align} \]
\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) より
\[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} \]
従って，面積 \(S\) は
\[ S = \frac{1}{2}bc\sqrt{1 - \cos^2 A} \]
これを展開すると
\[ \begin{align} S &= \frac{1}{2}bc\sqrt{1 - \cos^2 A}\\ &= \frac{1}{2}bc\sqrt{1 - \frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2 - \left(\frac{(b^2+c^2-a^2)}{2}\right)^2}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\left(-\frac{b^2+c^2-a^2-2bc}{2}\right)\left(\frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{2}\right)}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\left(-\frac{(b-c)^2-a^2}{2}\right)\left(\frac{(b+c)^2-a^2}{2}\right)}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{2}\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{(a+b-c)}{2}\frac{(a+c-b)}{2}\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(b+c-a)}{2}}\\ &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} \]
下記のように \(\triangle ABC\) について内心 \(D\) と傍心 \(G\) を考えます．
前準備として \(\triangle ABC\) のそれぞれの角の対辺を \(a, b, c\) として
\[ s = \frac{1}{2}(a + b + c) \]
と変数 \(s\) を定義します．また，内接円の性質（各頂点の内角の二等分線上に内心が存在）より
\[ \begin{align} AH &= AN\\ CN &= CI\\ BH &= BI \end{align} \]
従って，
\[ \begin{align} AH &= s - a\\ BH &= s - b\\ CN &= s = c \end{align} \]
傍接円の傍心 \(G\) は
- \(\angle A\) の二等分線上
- \(B\) と \(C\)の外角の二等分線上
に存在することから
\[ AL = AE \]
また，
\[ \begin{align} AL + AE &= (AC + CL) + (AB + BE)\\ &= (AC + CO) + (AB + BO)\\ &= a + b + c\\ &= 2s \end{align} \]
従って，
\[ AL = AE = s \]
内接円の内心 \(D\) が \(\angle B, \angle C\) の二等分線上に存在するので
\[ \begin{align} 180^\circ &= 2\angle HBD + 2\angle EBG\\ \Rightarrow & 90^\circ = \angle HBD + \angle EBG \end{align} \]
従って，
\[ \begin{align} \angle BDH &= \angle EBG \angle HBD &= \angle BGE \end{align} \]
ここから
\[ \triangle HBD \sim \triangle EGB \]
これより
\[ \frac{s - b}{r_1}=\frac{r_2}{s - c} \]
これを整理すると
\[ r_1r_2 = (s-b)(s-c) \label{#eq-1} \]
また，\(\triangle HDE\) と \(\triangle HDO\) の面積が等しいことから
\[ sr_1 = (s-a)r_2 \label{#eq-2} \]
\(\eqref{#eq-1}\), \(\eqref{#eq-2}\) を 掛け合わせて \(r_2\) を両辺から除して \(s\) を両辺にかけると
\[ s^2r_1^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) \]
従って
\[ sr_1 = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
LHSは \(\triangle ABC\) の面積と一致するので，これでヘロンの公式が示された．