いろいろな三角不等式

複素数
幾何
線形代数
Author

Ryo Nakagami

Published

2025-03-03

シュワルツの不等式と三角不等式

Theorem 1 : シュワルツの不等式

任意の２つのベクトル \(\pmb{a}, \pmb{b}\) に対して，

\[ \vert (\pmb{a}, \pmb{b})\vert \leq ||\pmb{a}||\,||\pmb{b}|| \]

等号が成り立つのは \(\pmb a = k\pmb b\) または, \(\pmb b = k^\prime\pmb a\) が成り立つ場合に限る(\(k,k^\prime \in \mathbf R\))．

Proof

▶  \(\pmb b = \pmb 0\) のとき

\(\pmb b = \pmb 0\) のときは等号が成り立つことは自明．

▶  \(\pmb b \neq \pmb 0\) のとき

\(\displaystyle k = \frac{(\pmb a, \pmb b)}{||\pmb b||^2}\) とおくと，

\[ \begin{align} ||\pmb a - k\pmb b||^2 &= ||\pmb a||^2 - 2k(\pmb a, \pmb b) + k^2 ||\pmb b||^2\\ &= ||\pmb a||^2 - 2\frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2} + \frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2}\\ &= ||\pmb a||^2 - \frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2} \end{align} \]

ここで，\(||\pmb a - k\pmb b||^2 \geq 0\) であるので

\[ ||\pmb a||^2 \geq \frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2} \]

これを整理すると

\[ ||\pmb a||^2||\pmb b||^2 \geq (\pmb a, \pmb b)^2 \Rightarrow ||\pmb a||\,||\pmb b|| \geq |(\pmb a, \pmb b)| \]

等号成立が成立するとき \(||\pmb a - k\pmb b||^2 = 0\) であるので，\(\pmb a = k\pmb b\) が必要条件であることがわかります．

▶  \(\pmb a = k\pmb b\) の十分条件性

\[ \begin{align} ||\pmb a||\,||\pmb b|| &= |k|||\pmb b||\,||\pmb b||\\ &= |k|||\pmb b||^2 \end{align} \]

また

\[ \begin{align} |(\pmb a, \pmb b)| &= |k|(\pmb b, \pmb b)\\ &= |k|||\pmb b||^2 \end{align} \]

したがって，\(|\pmb a||\,||\pmb b|| = |(\pmb a, \pmb b)|\) が成り立つことがわかります．

Theorem 2 : シュワルツの不等式と三角不等式

任意の２つのベクトル \(\pmb{a}, \pmb{b}\) に対して，

\[ ||\pmb{a} + \pmb{b}|| \leq ||\pmb{a}||\, ||\pmb{b}|| \]

等号が成り立つのは \(\pmb a = k\pmb b, k\geq 0\) または, \(\pmb b = k^\prime\pmb a, k^\prime\geq 0\) が成り立つ場合に限る．

Proof

シュワルツの不等式を用いると

\[ \begin{align} ||\pmb{a} + \pmb{b}||^2 &= ||\pmb{a}||^2 + 2(\pmb{a},\pmb{b}) + ||\pmb{b}||^2\\ &\leq ||\pmb{a}||^2 + 2||\pmb{a}||\,||\pmb{b}|| + ||\pmb{b}||^2\\ &= (||\pmb{a}|| + ||\pmb{b}||)^2 \end{align} \]

したがって，

\[ ||\pmb{a} + \pmb{b}|| \leq ||\pmb{a}||\, ||\pmb{b}|| \]

等号成立はシュワルツの不等式の等号が成立し，かつ

\[ (\pmb{a},\pmb{b}) \geq 0 \]

が成立するときとなるので， \(\pmb a = k\pmb b, k\geq 0\) または, \(\pmb b = k^\prime\pmb a, k^\prime\geq 0\) が成り立つ場合に限ることがわかる．

複素数と三角不等式

Theorem 3

複素平面上に2点 \(z = a_1 + b_1i, w = a_2 + b_2i\) をとったとき，次の不等式が成立する

\[ \begin{gather} \vert z + w \vert \leq \vert z\vert + \vert w \vert\\ \vert z\vert - \vert w \vert \leq \vert z - w \vert \end{gather} \]

これを三角不等式と呼ぶ．

Proof 1

注意: この証明は平面空間における三角不等式を前提にしているのでトートロジー疑惑が有ります

Code 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Define the complex numbers
alpha1 = 3 + 4j
alpha2 = 5 + 2j
alpha3 = alpha1 + alpha2
alpha4 = alpha1 - alpha2

# Extract the real and imaginary parts
a1_real, a1_imag = alpha1.real, alpha1.imag
a2_real, a2_imag = alpha2.real, alpha2.imag
a3_real, a3_imag = alpha3.real, alpha3.imag
a4_real, a4_imag = alpha4.real, alpha4.imag

# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()

# Plot the vectors
ax.quiver(0, 0, a1_real, a1_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(0, 0, a2_real, a2_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(
    a1_real,
    a1_imag,
    a2_real,
    a2_imag,
    angles="xy",
    scale_units="xy",
    linewidth=1,
    scale=1,
    edgecolor="gray",
    color="gray",
)
ax.quiver(0, 0, a3_real, a3_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(0, 0, a4_real, a4_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(
    a1_real,
    a1_imag,
    -a2_real,
    -a2_imag,
    angles="xy",
    scale_units="xy",
    linewidth=1,
    scale=1,
    edgecolor="gray",
    color="gray",
)


# add point
ax.text(a1_real, a1_imag * 1.1, "$z$")
ax.text(a2_real, a2_imag, "$w$")
ax.text(a3_real, a3_imag, "$z+w$")
ax.text(a4_real, a4_imag + 0.5, "$z-w$")


# Set the plot limits
ax.set_xlim(a4_real - 1, max(a1_real, a3_real) + 3)
ax.set_ylim(-1, max(a1_imag, a3_imag) + 3)

# Add grid, labels, and legend
ax.grid()
ax.set_aspect("equal")
ax.set_xlabel("Real Part")
ax.set_ylabel("Imaginary Part")

# Add title
ax.set_title("Complex Number Vectors")

# Show the plot
plt.show()

原点と \(z, z+w\) を頂点とする三角形を考えます．このときそれぞれの辺の長さは \(\vert z\vert, \vert w\vert, \vert z + w\vert\) となります．

三角形の二辺の和は他の１辺の長さより長いので

\[ \vert z + w \vert \leq \vert z\vert + \vert w \vert \]

が成立する．

同様に\(z, z-w\) を頂点とする三角形についても

\[ \vert z \vert \leq \vert z + w \vert + \vert w \vert \]

が成り立つので，これを整理すると

\[ \vert z\vert - \vert w \vert \leq \vert z - w \vert \]

Proof 2

複素数の絶対値と共役複素数の関係より

\[ \begin{align} \vert z + w \vert^2 &= (z + w)(\bar z + \bar w)\\ &= z\bar z + w\bar w + w\bar z + z\bar w\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + w \overline z + z \overline w\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + w \overline z + \overline{\overline z w}\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\operatorname{Re}w \overline z\\ &\leq \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\vert w \overline z\vert\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\vert w\vert \vert\overline z\vert\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\vert w\vert \vert z\vert\\ &= (\vert z \vert + \vert w \vert)^2 \end{align} \]

したがって，

\[ \vert z + w \vert \leq \vert z \vert + \vert w \vert \]

Theorem 4

\(\mathbb C^n\) の任意のベクトル \(\pmb a, \pmb b\) に対し，次が成立する

\[ ||\pmb a + \pmb b|| \leq ||\pmb a|| + ||\pmb b|| \]

Proof

\[ \begin{align} ||\pmb a + \pmb b||^2 &= (\pmb a + \pmb b, \pmb a + \pmb b)\\ &= ||\pmb a||^2 + ||\pmb b||^2 + (\pmb a, \pmb b) + (\pmb b, \pmb a) \end{align} \]

ここでシュワルツの不等式より

\[ \begin{align} |(\pmb a, \pmb b)| &\leq ||\pmb a||\,||\pmb b||\\ |(\pmb b, \pmb a)| &\leq ||\pmb b||\,||\pmb a|| = ||\pmb a||\,||\pmb b|| \end{align} \]

従って，

\[ \begin{align} ||\pmb a||^2 + ||\pmb b||^2 + (\pmb a, \pmb b) + (\pmb b, \pmb a) &\leq ||\pmb a||^2 + ||\pmb b||^2 + 2 ||\pmb a||\,||\pmb b||\\ &= (||\pmb a|| + ||\pmb b||)^2 \end{align} \]

よって，

\[ \begin{gather} ||\pmb a + \pmb b||^2 \leq (||\pmb a|| + ||\pmb b||)^2\\ \Rightarrow ||\pmb a + \pmb b|| \leq ||\pmb a|| + ||\pmb b|| \end{gather} \]