いろいろな三角不等式 – regmonkey datascience blog

シュワルツの不等式と三角不等式

定理 1 : シュワルツの不等式

任意の２つのベクトル a, b に対して，

|(a, b)| ≤ ||a|| ||b||

等号が成り立つのは a = kb または, b = k^′a が成り立つ場合に限る(k, k^′ ∈ R)．

Proof

▶ b = 0 のとき

b = 0 のときは等号が成り立つことは自明．

▶ b ≠ 0 のとき

$\displaystyle k = \frac{(\pmb a, \pmb b)}{||\pmb b||^2}$ とおくと，

$$ \begin{align} ||\pmb a - k\pmb b||^2 &= ||\pmb a||^2 - 2k(\pmb a, \pmb b) + k^2 ||\pmb b||^2\\ &= ||\pmb a||^2 - 2\frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2} + \frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2}\\ &= ||\pmb a||^2 - \frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2} \end{align} $$

ここで，||a − kb||² ≥ 0 であるので

$$ ||\pmb a||^2 \geq \frac{(\pmb a, \pmb b)^2}{||\pmb b||^2} $$

これを整理すると

||a||²||b||² ≥ (a, b)² ⇒ ||a|| ||b|| ≥ |(a, b)|

等号成立が成立するとき ||a − kb||² = 0 であるので，a = kb が必要条件であることがわかります．

▶ a = kb の十分条件性

$$ \begin{align} ||\pmb a||\,||\pmb b|| &= |k|||\pmb b||\,||\pmb b||\\ &= |k|||\pmb b||^2 \end{align} $$

また

$$ \begin{align} |(\pmb a, \pmb b)| &= |k|(\pmb b, \pmb b)\\ &= |k|||\pmb b||^2 \end{align} $$

したがって，|a|| ||b|| = |(a, b)| が成り立つことがわかります．

定理 2 : シュワルツの不等式と三角不等式

任意の２つのベクトル a, b に対して，

||a + b|| ≤ ||a|| ||b||

等号が成り立つのは a = kb, k ≥ 0 または, b = k^′a, k^′ ≥ 0 が成り立つ場合に限る．

Proof

シュワルツの不等式を用いると

$$ \begin{align} ||\pmb{a} + \pmb{b}||^2 &= ||\pmb{a}||^2 + 2(\pmb{a},\pmb{b}) + ||\pmb{b}||^2\\ &\leq ||\pmb{a}||^2 + 2||\pmb{a}||\,||\pmb{b}|| + ||\pmb{b}||^2\\ &= (||\pmb{a}|| + ||\pmb{b}||)^2 \end{align} $$

したがって，

||a + b|| ≤ ||a|| ||b||

等号成立はシュワルツの不等式の等号が成立し，かつ

(a, b) ≥ 0

が成立するときとなるので， a = kb, k ≥ 0 または, b = k^′a, k^′ ≥ 0 が成り立つ場合に限ることがわかる．

複素数と三角不等式

定理 3

複素平面上に2点 z = a₁ + b₁i, w = a₂ + b₂i をとったとき，次の不等式が成立する

$$ \begin{gather} \vert z + w \vert \leq \vert z\vert + \vert w \vert\\ \vert z\vert - \vert w \vert \leq \vert z - w \vert \end{gather} $$

これを三角不等式と呼ぶ．

Proof 1

注意: この証明は平面空間における三角不等式を前提にしているのでトートロジー疑惑が有ります

コード

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Define the complex numbers
alpha1 = 3 + 4j
alpha2 = 5 + 2j
alpha3 = alpha1 + alpha2
alpha4 = alpha1 - alpha2

# Extract the real and imaginary parts
a1_real, a1_imag = alpha1.real, alpha1.imag
a2_real, a2_imag = alpha2.real, alpha2.imag
a3_real, a3_imag = alpha3.real, alpha3.imag
a4_real, a4_imag = alpha4.real, alpha4.imag

# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()

# Plot the vectors
ax.quiver(0, 0, a1_real, a1_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(0, 0, a2_real, a2_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(
    a1_real,
    a1_imag,
    a2_real,
    a2_imag,
    angles="xy",
    scale_units="xy",
    linewidth=1,
    scale=1,
    edgecolor="gray",
    color="gray",
)
ax.quiver(0, 0, a3_real, a3_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(0, 0, a4_real, a4_imag, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="k")
ax.quiver(
    a1_real,
    a1_imag,
    -a2_real,
    -a2_imag,
    angles="xy",
    scale_units="xy",
    linewidth=1,
    scale=1,
    edgecolor="gray",
    color="gray",
)


# add point
ax.text(a1_real, a1_imag * 1.1, "$z$")
ax.text(a2_real, a2_imag, "$w$")
ax.text(a3_real, a3_imag, "$z+w$")
ax.text(a4_real, a4_imag + 0.5, "$z-w$")


# Set the plot limits
ax.set_xlim(a4_real - 1, max(a1_real, a3_real) + 3)
ax.set_ylim(-1, max(a1_imag, a3_imag) + 3)

# Add grid, labels, and legend
ax.grid()
ax.set_aspect("equal")
ax.set_xlabel("Real Part")
ax.set_ylabel("Imaginary Part")

# Add title
ax.set_title("Complex Number Vectors")

# Show the plot
plt.show()

原点と z, z + w を頂点とする三角形を考えます．このときそれぞれの辺の長さは |z|, |w|, |z + w| となります．

三角形の二辺の和は他の１辺の長さより長いので

|z + w| ≤ |z|+|w|

が成立する．

同様にz, z − w を頂点とする三角形についても

|z| ≤ |z + w|+|w|

が成り立つので，これを整理すると

|z|−|w| ≤ |z − w|

Proof 2

複素数の絶対値と共役複素数の関係より

$$ \begin{align} \vert z + w \vert^2 &= (z + w)(\bar z + \bar w)\\ &= z\bar z + w\bar w + w\bar z + z\bar w\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + w \overline z + z \overline w\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + w \overline z + \overline{\overline z w}\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\operatorname{Re}w \overline z\\ &\leq \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\vert w \overline z\vert\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\vert w\vert \vert\overline z\vert\\ &= \vert z\vert^2 + \vert w\vert^2 + 2\vert w\vert \vert z\vert\\ &= (\vert z \vert + \vert w \vert)^2 \end{align} $$

したがって，

|z + w| ≤ |z|+|w|

定理 4

ℂⁿ の任意のベクトル a, b に対し，次が成立する

||a + b|| ≤ ||a||+||b||

Proof

$$ \begin{align} ||\pmb a + \pmb b||^2 &= (\pmb a + \pmb b, \pmb a + \pmb b)\\ &= ||\pmb a||^2 + ||\pmb b||^2 + (\pmb a, \pmb b) + (\pmb b, \pmb a) \end{align} $$

ここでシュワルツの不等式より

$$ \begin{align} |(\pmb a, \pmb b)| &\leq ||\pmb a||\,||\pmb b||\\ |(\pmb b, \pmb a)| &\leq ||\pmb b||\,||\pmb a|| = ||\pmb a||\,||\pmb b|| \end{align} $$

従って，

$$ \begin{align} ||\pmb a||^2 + ||\pmb b||^2 + (\pmb a, \pmb b) + (\pmb b, \pmb a) &\leq ||\pmb a||^2 + ||\pmb b||^2 + 2 ||\pmb a||\,||\pmb b||\\ &= (||\pmb a|| + ||\pmb b||)^2 \end{align} $$

よって，

$$ \begin{gather} ||\pmb a + \pmb b||^2 \leq (||\pmb a|| + ||\pmb b||)^2\\ \Rightarrow ||\pmb a + \pmb b|| \leq ||\pmb a|| + ||\pmb b|| \end{gather} $$