確率行列の固有値の絶対値は1以下になる証明
Ryo Nakagami
2025-04-08
練習 1
n 次非負実行列 A = (aij) が
$$ \sum_{j=1}^n a_{ij} = 1 $$
を満たすとき，A を確率行列と呼ぶ． このとき，以下が成立することを示せ
Af = f
ただし，f = (1, ⋯1)T， つまり f はすべての成分が1であるような n項列ベクトルであるとする．
Af は n 項列ベクトルとなるので，その第 i 項成分を bi とすると
$$ \begin{align} b_i &= \sum_{j=1}^n a_{ij}f_j\\ &= \sum_{j=1}^n a_{ij} \quad (\because f_j = 1)\\ &= 1 \end{align} $$
従って，
Af = (1, ⋯, 1)T = f
練習 2
A, B が n 次確率行列であるとき，AB も確率行列であることを示せ
AB = (cij) とするとき，
$$ \begin{align} c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \end{align} $$
となります．このとき
$$ \begin{align} \sum_{j=1}^n c_{ij} &= \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\\ &= \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ik}b_{kj}\\ &= \sum_{k=1}^n a_{ik}(\sum_{j=1}^n b_{kj})\\ &= \sum_{k=1}^n a_{ik} \quad (\because \sum_{j=1}^n b_{kj} = 1)\\ &= 1 \end{align} $$
従って，A, B が n 次確率行列であるとき，AB も確率行列である．
練習 3
A が確率行列のとき，複素数 λ に対して Ax = λx となるような列ベクトル x ≠ 0 が存在すれば
|λ| ≤ 1
となることを示せ．
x の成分のうち絶対値が最大となるような成分を |xp| とすると
$$ \begin{align} \lambda x_p = \sum_{i=1}^n a_{pi} x_i \end{align} $$
ここで，両辺について絶対値を取ると
$$ \begin{align} |\lambda x_p | &= |\lambda|\,|x_p|\\ \left|\sum_{i=1}^n a_{pi} x_i\right| & \leq \sum_{i=1}^n a_{pi} |x_i| \quad (\because\text{三角不等式})\\ & \leq \sum_{i=1}^n a_{pi} |x_p|\\ &= |x_p| \quad(\because \sum_{i=1}^n a_{pi} = 1) \end{align} $$
従って，
|λ| |xp| ≤ |xp| ⇒ |λ| ≤ 1
定理 1 : 転置行列の固有値
任意の n 次正方行列 A に対して，A の固有値と AT の固有値は等しい
A の固有値を λ とすると，λ は次の固有方程式の解と対応します．
|λI − A| = 0
行列式は転置不変性，つまり
|λI − A| = |(λI − A)T|
という性質を持つので
$$ \begin{align} |(\lambda \pmb I - A)^T| &= |(\lambda \pmb I^T - A^T)|\\ &= |(\lambda \pmb I - A^T)|\\ &= 0 \end{align} $$
従って，λ は AT の固有方程式の解となることがわかるので，A の固有値と AT の固有値は等しいことがわかる．