ボイル=シャルルの法則の導出

熱力学
作者

Ryo Nakagami

公開

2025-06-02

更新日

2025-06-30

ボイルの法則とシャルルの法則

定理 1 ボイルの法則

温度 T が一定のとき，圧力 p と体積 V は反比例する．つまり，

pV = constant

ある一定の温度 T の下では，

  • 圧力 p を上げれば，それに反比例して体積 V は収縮
  • 圧力 p を下げれば，それに反比例して体積 V は膨張

定理 2 シャルルの法則

圧力 p が一定のとき，温度 T と体積 V は比例する

$$ \frac{V}{T} = \text{constant} $$

圧力 p が一定のとき

  • 温度 T を上げれば，それに比例して体積 V は膨張
  • 温度 T を下げれば，それに比例して体積 V は収縮

ボイル=シャルルの法則

定理 3 ボイル=シャルルの法則

ボイルの法則とシャルルの法則が成立するとき，

$$ \frac{pV}{T} = \text{constant} $$

これをボイル=シャルルの法則と呼ぶ

ノートProof 1: 単射仮定

ボイルの法則より温度 T が一定のとき pV = constant，つまり

$$ \begin{align} pV = f(T) \label{eq-base} \end{align} $$

同様に，シャルルの法則より

$$ \frac{V}{T} = g(p) $$

ここで関数 g(⋅) を単射と仮定すると

$$ h\left(\frac{V}{T}\right) = p $$

従って，

$$ h\left(\frac{V}{T}\right) = \frac{f(T)}{v} \ \ \forall v, T $$

ここで，$\displaystyle\frac{V}{T} = x$ とすると

$$ h(x) = \frac{f(T)}{x\cdot T} $$

LHSは x の関数であることから，

$$ h(x) = \frac{f(T_1)}{x\cdot T_1} = \frac{f(T_2)}{x\cdot T_2} $$

$\displaystyle \frac{f(T)}{T} = \lambda$(定数) とおくと

$$ h(x) = \frac{\lambda}{x} $$

従って，f(T) = λT. これを に代入すると

pV = λT

T > 0 より

$$ \frac{pV}{T} = \lambda $$

ノートProof: 独立変数

ボイルの法則とシャルルの法則より

$$ \begin{align} pV &= f(T)\\ \frac{V}{T} &= g(p) \end{align} $$

これを V について解いて整理すると

$$ \frac{f(T)}{T} = pg(p) $$

この式において，左辺は温度のみの関数，右辺は圧力のみの関数．圧力と温度は互いに独立しているため，この式が常に成り立つためには，両辺がそれぞれ定数でなければならない．つまり，

$$ \lambda = \frac{f(T)}{T} = pg(p) $$

従って，

$$ \begin{align} f(T) &= \lambda T \end{align} $$

よって，

$$ \frac{pV}{T} = \lambda $$

物理的現象としてボイル=シャルルの法則を見てみる

sequenceDiagram
    participant A as p₀, V₀, T₀
    participant B as p₁, V', T₀
    participant C as p₁, V₁, T₁
    A->>B: T₀一定<br>p₀V₀=p₁V'
    B->>C: p₁一定<br>V'/T₀ = V₁/T₁

まず，p0, V0, T0 の１つの熱力学的な系を，温度 T0 のまま圧力を p1, V′ に変化させると，ボイルの法則より

p0V0 = p1V′

つぎに p1 を一定の下，V1, T1 へ系を変化させると，シャルルの法則より

$$ \frac{V'}{T_0} = \frac{V_1}{T_1} $$

ここから

$$ V' = T_0\cdot\frac{V_1}{T_1} $$

よって

$$ \frac{p_0V_0}{T_0} = \frac{p_1V_1}{T_1} = \text{constant} $$

を得る．

ボイル=シャルルの法則から理想気体の状態方程式を導く

1 molの気体は 0℃, 1 atm の条件下で気体の種類によらず体積は 22.41 l になります．ここから

$$ \begin{align} \frac{pV}{T} &= \frac{1.013 \times 10^5 \times 22.41 \times 10^{-3}}{273.15}\\ &\approx 8.31 \text{[J/mol K]} \end{align} $$

  • pV の単位あh [Pa･m³] = [Nm] = [J] つまり，エネルギーの単位となる

この定数を R とおくと R ≈ 8.31[J/mol K]．この定数 R を気体定数と呼ぶ．n molの気体に対しては

$$ \frac{pV}{T} = nR $$

例 1 空気中の分子数

20℃，1atmの空気 1cm³の質量と，それに含まれる分子数を求めてみます．条件として

  • 空気は酸素と窒素が1:4の比率として，1molあたり質量は28.8とする
  • アボガドロ数 Na = 6.02 × 1023

理想気体の状態方程式より

$$ \frac{22.41}{273.15} = \frac{V}{293.15} $$

従って，V = 24.05[l] = 24.05 × 103[cm³]．1cm³あたり質量は

$$ \frac{28.8}{24.05 \times 10^3 } \approx 1.20 \times 10^{-3} \text{[g/cm³]} $$

この空気1cm³あたり分子数は

$$ \frac{N_A}{24.05 \times 10^3} \approx 2.50 \times 10^{19} \text{[個/cm³]} $$