収束の条件とCauchyの判定法 – regmonkey datascience blog

区間縮小法

Theorem 1 区間縮小法

閉区間 $I_n = [a_n, b_n] \, \ (n=1,2,\cdots)$ において，

各区間 $I_n$ がその前の区間 $I_{n-1}$ に含まれ
$n$ が限りなく増すとき，区間 $I_n$ の幅 $b_n - a_n$ が限りなく小さくなる
任意の $m, n$ に対して，$a_n < b_m$

とき，これらの各区間に共通なるただ一つの点が存在する(=各区間に共通なる数が唯一つ確定する)

Proof

仮定 1, 3 より

\[ a_1 \leq a_2 \leq \cdots a_n \leq \cdots b_n \leq \cdots b_2 \leq b_1 \]

数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は有界かつ単調増加/減少であるので，

\[ \lim_{n\to\infty}a_n = \alpha, \lim_{n\to\infty}b_n = \beta \]

任意の $m, n$ に対して，$a_n < b_m$ であるので，

\[ \begin{align} n\to\infty &\Rightarrow \alpha \leq b_m\\ m\to\infty &\Rightarrow \alpha \leq \beta \end{align} \]

また, 仮定 2 より，任意の $\epsilon > 0$ に対応して

\[ b_n - a_n < \epsilon \]

を満たす $n$ が存在し，

\[ a_n \leq \alpha \leq \beta \leq b_n \]

従って，

\[ 0 \leq \beta - \alpha < \epsilon \]

任意の $\epsilon >0$ について成立するので

\[ \alpha = \beta \]

区間縮小法からDedekindの定理の導出

Theorem 2 Dedekindの定理

実数の切断 $(A, B)$ が与えられたとき，ただ１つの数 $s$ が存在し，$s$ は Aの最大数 xor Bの最小数である．

Proof: 区間縮小法を用いた証明

$A, N$ から一対の数 $a, b$ を取り出して，区間 $I_0 = [a, b]$ を定義します．

\[ \frac{a+b}{2} \]

は中間の数なので，A または B のどちらか一方に属していなければなりません．この条件に応じて

\[ \begin{align} \frac{a+b}{2} \in A &\Rightarrow a_1 = \frac{a+b}{2}, b_1 = b\\ \frac{a+b}{2} \in B &\Rightarrow a_1 = a, b_1 = \frac{a+b}{2} \end{align} \]

として区間を更新していきます．

区間が更新されるたびに

\[ \begin{align} I_0\text{の幅} &= b-a\\ I_1\text{の幅} &= \frac{b-a}{2}\\ I_2\text{の幅} &= \frac{b-a}{4}\\ \vdots &\\ I_n\text{の幅} &= \frac{b-a}{2^n} \end{align} \]

となるので，

\[ I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \]

従って，各区間に共通する数はただ１つ $s$ と定まり，それは切断 $(A, B)$ の上組または下組の属す必要があります．

$s\in A$ とすると，任意の $s^\prime > s$ は $b_n \to s$ より

\[ s < b_n < s^\prime \text{なる $b_n$ が存在する} \Rightarrow s^\prime \in B \]

つまり，$s$ は $A$ の最大数であり，このとき $B$ には最小数は存在しません．仮に，$s^\prime$ を $B$ の最小数とすると

\[ s_0 = \frac{s^\prime - s}{2} \]

なる数を考えると，十分大きな$n$ について任意の$\epsilon > 0$ で

\[ |b_n - s| < \epsilon\Rightarrow |b_n - s| < \frac{s^\prime - s}{4} \]

を満たすような $b_n$ が考えられ，このとき $b_n < s^\prime$ であるので，最小数の仮定と矛盾します．

もしも，$s\in B$ であるならば，同様のロジックで $s = \min(B)$ であり，$A$ の最大数は存在しないことになります．

Cauchyの判定法

Theorem 3 Cauchyの判定法

数列 $\{a_n\}$ が収束するために必要かつ十分なる条件は，任意の $\epsilon > 0$ に対応して $n_0$ が定められて，

\[ p > n_0, q > n_0 \Rightarrow |a_p - a_q| < \epsilon \]

Proof: 高木解析概論 p12 より

必要条件

$a_n \to \lambda$ であるならば収束の定義より，ある $N(\epsilon)$ が存在して

\[ p > N(\epsilon), q > N(\epsilon) \Rightarrow |a_p - \lambda| <\frac{\epsilon}{2}, |a_q - \lambda| <\frac{\epsilon}{2} \]

従って，

\[ \begin{align} |a_p - a_q| &= |a_p - \lambda + \lambda - a_q|\\ &\leq |a_p - \lambda| + |a_q - \lambda| \,\ \because{\text{三角不等式}}\\ & < \epsilon \end{align} \]

よって，収束列はコーシー列です．

十分性

${a_n}$ がコーシー列であるとする：

条件より以下のように ${a_n}$ は有界となります．

\[ p > n_0 \Rightarrow |a_p - a_{n_0 + 1}| < \epsilon, \, \ \text{$n_0$ は確定なので有限個の数列 $\{a_n\}_{n=1}^{n_0}$ を加えても有界} \]

次に，任意の $n$ について，$\{a_k\}_{k=n}^\infty$ を対応させて，その数列に対応する上限と下限を $l_n, m_n$ として，

\[ I_n = [m_n, l_n] \]

とおくと，

\[ \begin{gather} m_1 \leq m_2 \leq \cdots \leq m_n \leq \cdots l_n \leq \cdots l_2 \leq l_1\\ I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \end{gather} \]

ここで改めて，任意の $\epsilon > 0$ に対応して $n_0$ が定められて，

\[ p > n_0, q > n_0 \Rightarrow |a_p - a_q| < \epsilon \]

$n > n_0$ とすると，上限の定義より任意の $q \geq n$ に対して

\[ l_n - a_q < \epsilon \]

また，下限の定義より，

\[ a_q - m_n < \epsilon \]

であるので，

\[ l_n - m_n \leq 2\epsilon \]

$\epsilon > 0$ は任意なので、区間 $I_{n}$ の長さ $l_{n} - m_{n}$ は $0$ に収束し．

\[ l_n \to \lambda, m_n \to \lambda \, \, \because{\text{区間縮小法}} \]

となるような $\lambda$ が存在します．これは，$a_n \to \lambda$ を意味します．実際，十分大きな $n$ について

\[ |a_n - \lambda| \leq l_n - m_n \leq \epsilon \]

が成立します．

無限級数の収束とCauchyの判定法

Definition 1 無限級数の収束

数列 $\{a_n\}$ の最初の $n$ 項の和を

\[ s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \]

としたとき，$\lim_{n\to\infty}s_n = s$ が存在するならば，無限級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ は収束するといいます．

Cauchyの判定法により $n$ を十分大きくして，任意の $m > n$ について

\[ |s_n - s_m| = |a_{n+1} + \cdots + a_m| < \epsilon \]

が $s_n$ の収束の必要十分条件となります．故に収束の場合は，

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{p=1}^\infty a_{n+p} = 0 \]

となります．

$\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ は無限級数収束の必要条件 but not 十分条件

Cauchyの収束条件より $n$ を十分大きくしたとき

\[ |s_{n+1} - s_n| < \epsilon \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \]

となりますが，逆は成り立ちません．

例えば

\[ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]

を考えると，

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0 \]

は成立しますが，級数についてのCauchy判定条件を見てみると，$n$ を十分大きくしても

\[ |s_{2n} - s_n| = \underbrace{\frac{1}{n+1} +\cdots +\frac{1}{2n}}_{n\text{個}} > \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{2} \]

となり，条件を満たさないため収束しません．実際にオイラー定数 $\gamma$ を用いると以下のような関係式になります

\[ \sum_{k=1}^n = \ln N + \gamma + \omicron(1) \]

区間縮小法

区間縮小法からDedekindの定理の導出

Cauchyの判定法

無限級数の収束とCauchyの判定法

References