収束の条件とCauchyの判定法 – regmonkey datascience blog

区間縮小法

定理 1 区間縮小法

閉区間 I_n = [a_n, b_n] (n = 1, 2, ⋯) において，

各区間 I_n がその前の区間 I_n − 1 に含まれ
n が限りなく増すとき，区間 I_n の幅 b_n − a_n が限りなく小さくなる
任意の m, n に対して，a_n < b_m

とき，これらの各区間に共通なるただ一つの点が存在する(=各区間に共通なる数が唯一つ確定する)

Proof

仮定 1, 3 より

a₁ ≤ a₂ ≤ ⋯a_n ≤ ⋯b_n ≤ ⋯b₂ ≤ b₁

数列 {a_n}, {b_n} は有界かつ単調増加/減少であるので，

lim_{n → ∞}a_n = α, lim_{n → ∞}b_n = β

任意の m, n に対して，a_n < b_m であるので，

$$ \begin{align} n\to\infty &\Rightarrow \alpha \leq b_m\\ m\to\infty &\Rightarrow \alpha \leq \beta \end{align} $$

また, 仮定 2 より，任意の ϵ > 0 に対応して

b_n − a_n < ϵ

を満たす n が存在し，

a_n ≤ α ≤ β ≤ b_n

従って，

0 ≤ β − α < ϵ

任意の ϵ > 0 について成立するので

α = β

区間縮小法からDedekindの定理の導出

定理 2 Dedekindの定理

実数の切断 (A, B) が与えられたとき，ただ１つの数 s が存在し，s は Aの最大数 xor Bの最小数である．

Proof: 区間縮小法を用いた証明

A, N から一対の数 a, b を取り出して，区間 I₀ = [a, b] を定義します．

$$ \frac{a+b}{2} $$

は中間の数なので，A または B のどちらか一方に属していなければなりません．この条件に応じて

$$ \begin{align} \frac{a+b}{2} \in A &\Rightarrow a_1 = \frac{a+b}{2}, b_1 = b\\ \frac{a+b}{2} \in B &\Rightarrow a_1 = a, b_1 = \frac{a+b}{2} \end{align} $$

として区間を更新していきます．

区間が更新されるたびに

$$ \begin{align} I_0\text{の幅} &= b-a\\ I_1\text{の幅} &= \frac{b-a}{2}\\ I_2\text{の幅} &= \frac{b-a}{4}\\ \vdots &\\ I_n\text{の幅} &= \frac{b-a}{2^n} \end{align} $$

となるので，

I₁ ⊃ I₂ ⊃ ⋯ ⊃ I_n ⊃ ⋯

従って，各区間に共通する数はただ１つ s と定まり，それは切断 (A, B) の上組または下組の属す必要があります．

s ∈ A とすると，任意の s^′ > s は b_n → s より

s < b_n < s^′なる b_n が存在する ⇒ s^′ ∈ B

つまり，s は A の最大数であり，このとき B には最小数は存在しません．仮に，s^′ を B の最小数とすると

$$ s_0 = \frac{s^\prime - s}{2} $$

なる数を考えると，十分大きなn について任意のϵ > 0 で

$$ |b_n - s| < \epsilon\Rightarrow |b_n - s| < \frac{s^\prime - s}{4} $$

を満たすような b_n が考えられ，このとき b_n < s^′ であるので，最小数の仮定と矛盾します．

もしも，s ∈ B であるならば，同様のロジックで s = min (B) であり，A の最大数は存在しないことになります．

Cauchyの判定法

定理 3 Cauchyの判定法

数列 {a_n} が収束するために必要かつ十分なる条件は，任意の ϵ > 0 に対応して n₀ が定められて，

p > n₀, q > n₀ ⇒ |a_p − a_q| < ϵ

Proof: 高木解析概論 p12 より

必要条件

a_n → λ であるならば収束の定義より，ある N(ϵ) が存在して

$$ p > N(\epsilon), q > N(\epsilon) \Rightarrow |a_p - \lambda| <\frac{\epsilon}{2}, |a_q - \lambda| <\frac{\epsilon}{2} $$

従って，

$$ \begin{align} |a_p - a_q| &= |a_p - \lambda + \lambda - a_q|\\ &\leq |a_p - \lambda| + |a_q - \lambda| \,\ \because{\text{三角不等式}}\\ & < \epsilon \end{align} $$

よって，収束列はコーシー列です．

十分性

a_n がコーシー列であるとする：

条件より以下のように a_n は有界となります．

p > n₀ ⇒ |a_p − a_n₀ + 1| < ϵ, n₀ は確定なので有限個の数列 {a_n}_n = 1^n₀ を加えても有界

次に，任意の n について，{a_k}_k = n^∞ を対応させて，その数列に対応する上限と下限を l_n, m_n として，

I_n = [m_n, l_n]

とおくと，

$$ \begin{gather} m_1 \leq m_2 \leq \cdots \leq m_n \leq \cdots l_n \leq \cdots l_2 \leq l_1\\ I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \end{gather} $$

ここで改めて，任意の ϵ > 0 に対応して n₀ が定められて，

p > n₀, q > n₀ ⇒ |a_p − a_q| < ϵ

n > n₀ とすると，上限の定義より任意の q ≥ n に対して

l_n − a_q < ϵ

また，下限の定義より，

a_q − m_n < ϵ

であるので，

l_n − m_n ≤ 2ϵ

ϵ > 0 は任意なので，区間 I_n の長さ l_n − m_n は 0 に収束し．

l_n → λ, m_n → λ ∵区間縮小法

となるような λ が存在します．これは，a_n → λ を意味します．実際，十分大きな n について

|a_n − λ| ≤ l_n − m_n ≤ ϵ

が成立します．

無限級数の収束とCauchyの判定法

定義 1 無限級数の収束

数列 {a_n} の最初の n 項の和を

s_n = a₁ + a₂ + ⋯ + a_n

としたとき，lim_{n → ∞}s_n = s が存在するならば，無限級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ は収束するといいます．

Cauchyの判定法により n を十分大きくして，任意の m > n について

|s_n − s_m| = |a_n + 1 + ⋯ + a_m| < ϵ

が s_n の収束の必要十分条件となります．故に収束の場合は，

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{p=1}^\infty a_{n+p} = 0 $$

となります．

lim_{n → ∞}a_n = 0 は無限級数収束の必要条件 but not 十分条件

Cauchyの収束条件より n を十分大きくしたとき

|s_n + 1 − s_n| < ϵ ⇒ lim_{n → ∞}a_n = 0

となりますが，逆は成り立ちません．

例えば

$$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

を考えると，

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0 $$

は成立しますが，級数についてのCauchy判定条件を見てみると，n を十分大きくしても

$$ |s_{2n} - s_n| = \underbrace{\frac{1}{n+1} +\cdots +\frac{1}{2n}}_{n\text{個}} > \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{2} $$

となり，条件を満たさないため収束しません．実際にオイラー定数 γ を用いると以下のような関係式になります

$$ \sum_{k=1}^n = \ln N + \gamma + \omicron(1) $$

区間縮小法

区間縮小法からDedekindの定理の導出

Cauchyの判定法

無限級数の収束とCauchyの判定法

References