理想気体の全微分 – regmonkey datascience blog

微分可能性

関数 z = f(x, y) を P = (x, y) の近傍において考察します．

Δz = f(x + Δx, y + Δy) − f(x, y)

としたとき，次のように考える

Δz = AΔx + BΔy + ϵρ

このとき，

A, B は Δx, Δy には関係しない係数
$\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$
ϵ → 0 as ρ → 0

が成立するならば，関数 z は点 P において微分可能であるといいます．

が成り立つならば，Δy = 0 が成立するとき，

$$ \begin{align} \rho &= |\Delta x|\\ \frac{\Delta z}{\Delta x} &= A \pm \epsilon \end{align} $$

このとき，微分可能性の仮定より Δx → 0 と共に ϵ → 0 だから，点P において

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = A $$

同様に

$$ \frac{\partial z}{\partial y} = B $$

全微分の導入

点 (x + Δx, y + Δy) が一定の方向から (x, y) に収束するとき，一定方向からなので

$$ \begin{align} \Delta x &= \rho \cos\alpha\\ \Delta y &= \rho \sin\alpha \end{align} $$

と考えることができます．このとき，

$$ \begin{gather} \frac{\Delta z}{\rho} = A\cos\alpha + B\sin\alpha + \epsilon\\ \lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z}{\rho} = A\cos\alpha + B\sin\alpha = \frac{\partial z}{\partial x} \cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\alpha \end{gather} $$

つまり，ρ → 0 とするとき，Δz などを dz と表記しなおすと

$$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy $$

このように，z が微分可能なるとき，dz を dx, dy に関する一次式で表すことを z の全微分とよびます．

領域において微分可能

z = f(x, y) がある領域の各店において微分可能であるとき，その領域において微分可能という．その場合，f(x, y) はその領域で連続です．

定理 1

ある領域で $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ が存在してかつ連続であるならば，zはその領域において微分可能である．

Proof

Δx, Δy をそれぞれ h, k と書けば

$$ \begin{align} \Delta z &= f(x+h, y+k) - f(x, y)\\ &= \underbrace{f(x + h, y +k) - f(x, y +k)}_{(A)} + \underbrace{f(x, y +k) - f(x, y)}_{(B)} \end{align} $$

について，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ が存在し，連続であるので，x に関して平均値の定理が利用できます．つまり，

f(x + h, y + k) − f(x, y + k) = hf_x(x + θh, y + k), 0 < θ < 1

仮定より f_x は連続であるので

f_x(x + θh, y + k) = f_x(x, y) + ϵ

とおけば，h, k → 0 のとき ϵ → 0.

同様に y について考えると

f(x, y + k) − f(x, y) = kf_y(x, y) + kϵ^′

整理すると，

Δz = hf_x(x, y) + kf_y(x, y) + hϵ + kϵ^′

$\rho = \sqrt{h^2 + k^2}$ とすると |h| ≤ ρ, |k| ≤ ρ であるので

hϵ + kϵ^′ ≤ (|ϵ|+|ϵ^′|)ρ

従って，

Δz = hf_x(x, y) + kf_y(x, y) + o(ρ)

従って，z は微分可能であることがわかります．

理想気体の p, v, T の全微分

1molの理想気体の状態方程式は

pv = RT

p を v, T の関数とする場合

$$ p(v, T) = \frac{RT}{v} $$

として，圧力 p を2つの独立変数 v, T の2変数関数とすると，

$$ \begin{align} dp &= \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T dv + \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_vdT\\ &= -\frac{RT}{v^2}dv + \frac{R}{v}dT \end{align} $$

v を p, T の関数とする場合

$$ dv = -\frac{RT}{p^2}dp + \frac{R}{p}dT $$

T を p, v の関数とする場合

$$ dT = \frac{v}{R}dp + \frac{p}{R}dv $$