理想気体の全微分 – regmonkey datascience blog

微分可能性

関数 \(z = f(x,y)\) を \(P = (x, y)\) の近傍において考察します．

\[ \Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) \]

としたとき，次のように考える

\[ \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + \epsilon\rho \label{eq-differential} \]

このとき，

\(A, B\) は \(\Delta x, \Delta y\) には関係しない係数
\(\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)
\(\epsilon \to 0 \ \ \text{ as} \ \ \rho \to 0\)

が成立するならば，関数 \(z\) は点 \(P\) において微分可能であるといいます．

\(\eqref{eq-differential}\) が成り立つならば，\(\Delta y = 0\) が成立するとき，

\[ \begin{align} \rho &= |\Delta x|\\ \frac{\Delta z}{\Delta x} &= A \pm \epsilon \end{align} \]

このとき，微分可能性の仮定より \(\Delta x \to 0\) と共に \(\epsilon \to 0\) だから，点P において

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = A \]

同様に

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = B \]

全微分の導入

点 \((x + \Delta x, y + \Delta y)\) が一定の方向から \((x, y)\) に収束するとき，一定方向からなので

\[ \begin{align} \Delta x &= \rho \cos\alpha\\ \Delta y &= \rho \sin\alpha \end{align} \]

と考えることができます．このとき，

\[ \begin{gather} \frac{\Delta z}{\rho} = A\cos\alpha + B\sin\alpha + \epsilon\\ \lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z}{\rho} = A\cos\alpha + B\sin\alpha = \frac{\partial z}{\partial x} \cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\alpha \end{gather} \]

つまり，\(\rho\to 0\) とするとき，\(\Delta z\) などを \(dz\) と表記しなおすと

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

このように，\(z\) が微分可能なるとき，\(dz\) を \(dx, dy\) に関する一次式で表すことを \(z\) の全微分とよびます．

領域において微分可能

\(z = f(x, y)\) がある領域の各店において微分可能であるとき，その領域において微分可能という．その場合，\(f(x, y)\) はその領域で連続です．

Theorem 1

ある領域で \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\) が存在してかつ連続であるならば，\(z\)はその領域において微分可能である．

Proof

\(\Delta x, \Delta y\) をそれぞれ \(h, k\) と書けば

\[ \begin{align} \Delta z &= f(x+h, y+k) - f(x, y)\\ &= \underbrace{f(x + h, y +k) - f(x, y +k)}_{(A)} + \underbrace{f(x, y +k) - f(x, y)}_{(B)} \end{align} \]

について，\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\) が存在し，連続であるので，\(x\) に関して平均値の定理が利用できます．つまり，

\[ f(x + h, y + k) - f(x, y + k) = hf_x(x+ \theta h, y +k), \ \ 0< \theta < 1 \]

仮定より \(f_x\) は連続であるので

\[ f_x(x+ \theta h, y +k) = f_x(x, y) + \epsilon \]

とおけば，\(h, k\to 0\) のとき \(\epsilon \to 0\).

同様に \(y\) について考えると

\[ f(x, y+ k) - f(x, y) = kf_y(x, y) + k\epsilon' \]

整理すると，

\[ \Delta z = hf_x(x, y) + kf_y(x, y) + h\epsilon + k\epsilon' \]

\(\rho = \sqrt{h^2 + k^2}\) とすると \(|h|\leq \rho, |k|\leq \rho\) であるので

\[ h\epsilon + k\epsilon' \leq (|\epsilon| + |\epsilon'|)\rho \]

従って，

\[ \Delta z = hf_x(x, y) + kf_y(x, y) + o(\rho) \]

従って，\(z\) は微分可能であることがわかります．

理想気体の \(p,v,T\) の全微分

1molの理想気体の状態方程式は

\[ pv = RT \]

\(p\) を \(v, T\) の関数とする場合

\[ p(v, T) = \frac{RT}{v} \]

として，圧力 \(p\) を2つの独立変数 \(v, T\) の2変数関数とすると，

\[ \begin{align} dp &= \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T dv + \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_vdT\\ &= -\frac{RT}{v^2}dv + \frac{R}{v}dT \end{align} \]

\(v\) を \(p, T\) の関数とする場合

\[ dv = -\frac{RT}{p^2}dp + \frac{R}{p}dT \]

\(T\) を \(p, v\) の関数とする場合

\[ dT = \frac{v}{R}dp + \frac{p}{R}dv \]