定理 1 平方完成
a ≠ 0, b ≠ 0 のとき，
$$ \begin{align} &a(x-A)^2 + b(x - B)^2 = (a+b)(x-C)^2 + \frac{ab}{a+b}(A-B)^2\\ &C= \frac{aA + bB}{a+b} \end{align} $$
例 1 正規分布の足し合わせ
X ∼ N(μx, σx2), Y ∼ N(μy, σy2) として互いに独立であるとき，Z = X + Y の分布を考えてみます．
$$ \begin{align} h(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2\sigma_y^2}}\int\exp\left(-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}\right)\exp\left(-\frac{(z - x - \mu_y)^2}{2\sigma_y^2}\right)dx \end{align} $$
ここについて，w = x − μx とすると
$$ \begin{align} h(z) = \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}\int\exp\left(-\frac{w^2}{2\sigma_x^2}\right)\exp\left(-\frac{(z - w - \mu_x - \mu_y)^2}{2\sigma_y^2}\right)dw \end{align} $$
定理 1 を用いて exp (⋅) の中を整理すると
$$ \begin{align} &\left(\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sigma_x^2}\frac{1}{2\sigma_y^2}\right)\left(\left(\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}\right)\right)^{-1}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\\ &=\left(\frac{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}{2\sigma_x^2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2 + \frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2 \end{align} $$
次に
$$ \begin{align} \int\exp\left(-\left(\frac{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}{2\sigma_x^2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2\right)dw = \sqrt{\frac{2\pi\sigma_x^2\sigma_y^2}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}} \end{align} $$
であるので
$$ \begin{align} h(z) &= \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\right)\int\exp\left(-\left(\frac{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}{2\sigma_x^2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2\right)dw\\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\right) \times \sqrt{\frac{2\pi\sigma_x^2\sigma_y^2}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_x^2+\sigma^2_y)}}\exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\right) \end{align} $$
これは N(μx + μy, σx2 + σy2) の確率密度関数と一致するので
Z ∼ N(μx + μy, σx2 + σy2)