Theorem 1 平方完成
\(a\neq 0, b\neq 0\) のとき，
\[ \begin{align} &a(x-A)^2 + b(x - B)^2 = (a+b)(x-C)^2 + \frac{ab}{a+b}(A-B)^2\\ &C= \frac{aA + bB}{a+b} \end{align} \]
Example 1 正規分布の足し合わせ
\(X\sim N(\mu_x, \sigma_x^2), Y\sim N(\mu_y, \sigma_y^2)\) として互いに独立であるとき，\(Z = X + Y\) の分布を考えてみます．
\[ \begin{align} h(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2\sigma_y^2}}\int\exp\left(-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}\right)\exp\left(-\frac{(z - x - \mu_y)^2}{2\sigma_y^2}\right)dx \end{align} \]
ここについて，\(w = x - \mu_x\) とすると
\[ \begin{align} h(z) = \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}\int\exp\left(-\frac{w^2}{2\sigma_x^2}\right)\exp\left(-\frac{(z - w - \mu_x - \mu_y)^2}{2\sigma_y^2}\right)dw \end{align} \]
Theorem 1 を用いて \(\exp(\cdot)\) の中を整理すると
\[ \begin{align} &\left(\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sigma_x^2}\frac{1}{2\sigma_y^2}\right)\left(\left(\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}\right)\right)^{-1}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\\ &=\left(\frac{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}{2\sigma_x^2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2 + \frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2 \end{align} \]
次に
\[ \begin{align} \int\exp\left(-\left(\frac{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}{2\sigma_x^2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2\right)dw = \sqrt{\frac{2\pi\sigma_x^2\sigma_y^2}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}} \end{align} \]
であるので
\[ \begin{align} h(z) &= \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\right)\int\exp\left(-\left(\frac{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}{2\sigma_x^2\sigma_y^2}\right)\left(w - \frac{\frac{1}{2\sigma_y^2}(z -(\mu_x + \mu_y))}{\frac{1}{2\sigma_x^2} + \frac{1}{2\sigma_y^2}}\right)^2\right)dw\\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\right) \times \sqrt{\frac{2\pi\sigma_x^2\sigma_y^2}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_x^2+\sigma^2_y)}}\exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)}((z -(\mu_x + \mu_y)))^2\right) \end{align} \]
これは \(N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)\) の確率密度関数と一致するので
\[ Z \sim N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y) \]