数のスケールは時間をもちいて説明する
百万・億・兆といった大きな数は，字面だけではどれも「とても大きい」としか感じられず，桁の違いが実感しにくいです． そこで，数を 時間 に置き換えて考えると，その差がはっきり見えてきます．
- 数を「１秒に１ずつ数えたら，どれくらいの時間がかかるか」に置き換える
- 目安として １日 ≒ 10万秒（86,400秒），１年 ≒ 3,000万秒（31,536,000秒）を覚えておく
- 桁が１つ増えると，かかる時間も10倍になる
Exmaple 1 百万，千万，億，兆
１秒に１ずつ数えたとき，および１ミリ秒に１ずつ数えたとき（1,000倍速）にかかる時間は次のとおりです．
| 数 | 値 | １秒に１ずつ | １ミリ秒に１ずつ |
|---|---|---|---|
| 百万 | \(10^6\) | 約11.6日 | 約17分 |
| 千万 | \(10^7\) | 約116日（約４ヶ月） | 約2.8時間 |
| 億 | \(10^8\) | 約3.2年 | 約1.2日 |
| 兆 | \(10^{12}\) | 約31,700年 | 約32年 |
百万は「２週間弱」，億はオリンピック周期くらいの時間ですが，兆になると旧石器時代までさかのぼる長さになります． 億と兆の間には「万倍」の差があることが，時間に置き換えるとよくわかります．
２を基底とした場合も，\(2^{10} = 1{,}024 \approx 10^3\) なので，指数が10増えるごとに約1,000倍になります．
| 数 | 値 | 10進での目安 | １秒に１ずつ | １ミリ秒に１ずつ |
|---|---|---|---|---|
| \(2^{10}\) | 1,024 | 約千 | 約17分 | 約1秒 |
| \(2^{20}\) | 1,048,576 | 約百万 | 約12.1日 | 約17分 |
| \(2^{30}\) | 1,073,741,824 | 約十億 | 約34年 | 約12.4日 |
| \(2^{32}\) | 4,294,967,296 | 約43億 | 約136年 | 約49.7日 |
| \(2^{40}\) | 1,099,511,627,776 | 約一兆 | 約34,900年 | 約35年 |
| \(2^{64}\) | 18,446,744,073,709,551,616 | 約1,800京 | 約5,850億年 | 約5.8億年 |
１秒に１ずつカウントアップする手法を 64 bit マシーンで採用すると，仮に符号で 1 bitを使用したとしても，約2900億年カウントできることになります． 宇宙の年齢が約138億年と考えると，宇宙の年齢の21倍の長さの時間を管理できることになるので，2038年問題のような出来事の心配はいらないことがわかります．
Exmaple 2 時給１万円と百万，千万，億，兆
時給１万円（秒給 \(10{,}000 \div 3{,}600 \approx 2.78\) 円）で働いたとき，その金額を稼ぐのにかかる時間を考えます．
| 金額 | 必要な労働時間 | 休まず働き続けた場合 | 年2,000時間働いた場合 |
|---|---|---|---|
| 百万円 | 100時間 | 約4.2日 | 約0.05年（約２週間半） |
| 千万円 | 1,000時間 | 約42日 | 約0.5年 |
| 一億円 | １万時間 | 約1.1年 | ５年 |
| 一兆円 | １億時間 | 約11,400年 | ５万年 |
時給１万円は高給ですが，それでも１億円を稼ぐには５年分の労働が必要です． １兆円となると，１日も休まず働いても１万年以上かかり，個人の労働で到達できる規模ではないことがわかります．
カウントアップとオーバーフロー
コンピュータでは，経過時間をカウンタ（整数）で数えることがよくあります． 整数は決まったビット数で表されるため，数えられる上限があります．
Definition 1 オーバーフロー: 表示可能な範囲を超えた数値を表現するときに起こる現象
\(n\) ビットの符号なし整数が表せる値は \(0\) から \(2^n - 1\) までの \(2^n\) 通り． 最大値 \(2^n - 1\) に \(1\) を足すと，結果は \(2^n\) にならずに \(0\) へ戻る．これをオーバーフローという．
- \(n\) ビットのカウンタは，\(2^n\) 回カウントアップするたびに \(0\) へ戻る
- 符号付き整数（2の補数）では，最大値 \(2^{n-1} - 1\) に \(1\) を足すと最小値 \(-2^{n-1}\) になる
Exmaple 3 1ミリ秒ごとにカウントアップするカウンタ
1ミリ秒ごとに \(1\) 増えるカウンタが，オーバーフローするまでの時間は次のとおりです．
| ビット数 | 符号なし（\(2^n\) ミリ秒） | 符号付き（\(2^{n-1}\) ミリ秒） |
|---|---|---|
| 32ビット | \(2^{32} \approx 43\) 億ミリ秒 ≒ 約49.7日 | \(2^{31} \approx 21\) 億ミリ秒 ≒ 約24.9日 |
| 64ビット | \(2^{64} \approx 1.8 \times 10^{19}\) ミリ秒 ≒ 約5.8億年 | \(2^{63} \approx 9.2 \times 10^{18}\) ミリ秒 ≒ 約2.9億年 |
32ビットのカウンタは２ヶ月もたずに一周します． 一方，64ビットにするとビット数は２倍ですが，表せる数は \(2^{32}\) 倍（約43億倍）になり，カンブリア爆発（約5.4億年前）から今日まで数え続けても一周しません．
- Windows 95/98 は，起動からの経過ミリ秒を32ビット符号なし整数で数えていたため，連続稼働 約49.7日 でハングアップする不具合があった
- 1970年1月1日からの経過秒を32ビット符号付き整数で表すシステムは，2038年1月19日にオーバーフローする（2038年問題）．\(2^{31}\) 秒 ≒ 約68年
Exmaple 4 16 bit 符号付き加算とオーバーフロー
負数を２の補数で表す16ビット符号付き整数の範囲は \([-2^{15},\ 2^{15}-1] = [-32768,\ 32767]\) です． この範囲の \(x_1, x_2\) について \(x_1 + x_2\) を計算するとき，すべての組み合わせでオーバーフローしないわけではありません．
- 同符号ならオーバーフローしうる：\(32767 + 1\) は
0111 1111 1111 1111\(+\)0000 0000 0000 0001\(=\)1000 0000 0000 0000となり，\(-32768\) と解釈される
一方，\(x_1\) と \(x_2\) の符号が異なる場合は，打ち消し合うのでオーバーフローしない ことを示します．
Appendix: 時間と秒数
| 期間 | 秒（seconds） | 分（minutes） | 時間（hours） |
|---|---|---|---|
| １時間 | 3,600 | 60 | 1 |
| １日 | 86,400 | 1,440 | 24 |
| １週間 | 604,800 | 10,080 | 168 |
| １ヶ月（30日） | 2,592,000 | 43,200 | 720 |
| １年（365日） | 31,536,000 | 525,600 | 8,760 |