三角関数の加法定理

三角関数
作者

Ryo Nakagami

公開

2025-03-05

加法定理

定理 1 : 加法定理

$$ \begin{align} \sin (\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\\ \cos (\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{align} $$

「咲いたコスモス，コスモス咲いた」なり「しこってこすってこすってしこって」と語呂合わせで加法定理を覚えたりしますが，ここでは加法定理を図形的に考えてみたいと思います．

図 1

図 1 のように半径 1 の単位円周上に ∠DOB = α + β となる点 B をとります． 同じく ∠AOD = α となるように点をとると，∠BOA = β となります．このとき，点 B の y 成分は sin (α + β) となります．

点 B から直線 OA 上に垂線を下ろし，その交点を C とすると OB = 1 より

$$ \begin{align} BC & = \sin\beta\\ OC &= \cos\beta \end{align} $$

となることがわかります．点 C から垂線を下ろし，x 軸との交点を E, B から直線 CE との交点を F とすると

$$ \begin{align} CE &= \sin \alpha\cos\beta\\ CF &= \cos\alpha\sin\beta \end{align} $$

したがって，CE + CF = sin (α + β) となることから

sin (α + β) = sin αcos β + cos αsin β

となることが図形的にわかります．同様に

$$ \begin{align} OE &= \cos\alpha\cos\beta\\ BF&= \sin\alpha\sin\beta \end{align} $$

より

cos (α + β) = OE − BF = cos αcos β − sin αsin β

▶  ２角の差 α − β の場合

sin (−β) = −sin (β) および cos (−β) = cos β より

$$ \begin{align} \sin (\alpha - \beta) &= \sin (\alpha + (-\beta))\\ &= \sin \alpha \cos (-\beta) + \cos \alpha \sin (-\beta)\\ &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{align} $$

同様に

$$ \begin{align} \cos (\alpha - \beta) &= \cos (\alpha + (-\beta))\\ &= \cos \alpha \cos (-\beta) - \sin \alpha \sin (-\beta)\\ &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align} $$

以上より

$$ \begin{align} \sin (\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\\ \cos (\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{align} $$

📘 REMARKS

sin θ は奇関数，cos θ は偶関数であることに留意すると

$$ \begin{align} \text{奇関数} \times \text{偶関数} &= \text{奇関数}\\ \text{偶関数} \times \text{偶関数} &= \text{偶関数}\\ \text{偶関数} + \text{偶関数} &= \text{偶関数}\\ \text{奇関数} + \text{奇関数} &= \text{奇関数} \end{align} $$

であるので，加法定理のRHSとLHSがそれぞれ対応していることがわかります．

オイラーの公式と加法定理

定理 2 : オイラーの公式

exp (iθ) = cos θ + isin θ

ノートオイラーの公式を用いた加法定理の導出

$$ \begin{align} \exp(i(\alpha + \beta)) &= \exp(i\alpha)\exp(i\beta)\\ &= (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)\\ &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \end{align} $$

exp (i(α + β)) = cos (α + β) + isin (α + β) であることから実部と虚部の比較より

$$ \begin{align} \sin (\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\\ \cos (\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{align} $$

二角の差の場合は

exp (i(α − β)) = exp (iα)exp (−iβ)

から同様に示すことが出来ます．

正接の加法定理

ノートProof

正弦と余弦の加法定理より

$$ \begin{align} \tan(\alpha \pm \beta) &= \frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos(\alpha \pm \beta)}\\ &= \frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta} \end{align} $$

分子と分母を cos αcos β で割ると

$$ \begin{align} \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \end{align} $$

練習 1

tan 1∘ が無理数であることを示せ

ノートSolution

tan 1∘ がとある有理数 a であると仮定すると，加法定理より

$$ \tan 2^\circ = \frac{2a}{1 - a^2} $$

となり，有理数の四則演算は有理数で閉じていることから tan 2∘ も有理数であることがわかる．同様に 4∘, 8∘, 16∘, 32∘ も有理数であることがわかる．

ここで，

$$ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

より tan 30∘ は無理数であることに着目する．一方，tan 30∘ は加法定理より

$$ \begin{align} \tan 30^\circ &= \tan (32^\circ - 2^\circ)\\ &= \frac{\tan 32^\circ + \tan 2^\circ}{1 + \tan 32^\circ\tan 2^\circ} \end{align} $$

このとき，tan 32∘, tan 2∘ はともに有理数であるので， tan 30∘ は無理数であることと矛盾． したがって，tan 1∘ は無理数である．

倍角の公式とサインカーブ

定理 3 : 倍角の公式

$$ \begin{align} \sin 2\theta &= 2\sin\theta\cos\theta\\ \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta\\ &= 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1\\ \tan 2\theta &= \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \end{align} $$

y = sin x は振幅 1 で周期 2π の周期関数ですが，

y = αsin βx  α > 0, β > 0

と変形すると，振幅 α で周期 $\displaystyle \frac{2\pi}{\beta}$ の周期関数となります．

コード 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as ticker

# Define the x values
x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 400)

# Define the y values for both functions
y1 = np.sin(x)
y2 = np.sin(x / 2)
y3 = 3 * np.sin(2 * x)

# Create the plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y1, label=r"$y = \sin(x)$", color="b")
plt.plot(x, y2, label=r"$y = \sin(x/2)$", color="r", linestyle="--")
plt.plot(x, y3, label=r"$y = 3\sin(2x)$", color="gray", linestyle="--")

# Add labels, title, and legend
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Comparison of $y = \sin(x)$ and $y = \sin(x/2)$, $y = 3\sin(2x)$")
plt.axhline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)

# Set x-ticks to multiples of pi
xticks = np.arange(-2 * np.pi, 2.5 * np.pi, np.pi / 2)
xtick_labels = [
    r"$-2\pi$",
    r"$-\frac{3\pi}{2}$",
    r"$-\pi$",
    r"$-\frac{\pi}{2}$",
    "0",
    r"$\frac{\pi}{2}$",
    r"$\pi$",
    r"$\frac{3\pi}{2}$",
    r"$2\pi$",
]
plt.xticks(xticks, xtick_labels)

# Show the plot
plt.show()
<>:22: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\s'
<>:22: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\s'
/tmp/ipykernel_3814/3968399034.py:22: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\s'
  plt.title("Comparison of $y = \sin(x)$ and $y = \sin(x/2)$, $y = 3\sin(2x)$")

次に，y = sin xcos x のグラフを考えてみます．加法定理より

$$ \begin{align} \sin 2x &= \sin (x + x)\\ &= 2\sin x\cos x \end{align} $$

であることから

$$ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $$

つまり，y = sin xcos x のグラフは振幅 $\displaystyle \frac{1}{2}$，周期 π のサインカーブとなることがわかります．

コード 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as ticker

# Define the x values
x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 400)

# Define the y values for both functions
y1 = np.sin(x) * np.cos(x)
y2 = np.sin(2 * x) /2

# Create the plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y1, label=r"$y = \sin(x)$", color="b")
plt.plot(x, y2, label=r"$y = \frac{1}{2}\sin(2x)$", color="gray", linestyle="--")

# Add labels, title, and legend
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.axhline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)

# Set x-ticks to multiples of pi
xticks = np.arange(-2 * np.pi, 2.5 * np.pi, np.pi / 2)
xtick_labels = [
    r"$-2\pi$",
    r"$-\frac{3\pi}{2}$",
    r"$-\pi$",
    r"$-\frac{\pi}{2}$",
    "0",
    r"$\frac{\pi}{2}$",
    r"$\pi$",
    r"$\frac{3\pi}{2}$",
    r"$2\pi$",
]
plt.xticks(xticks, xtick_labels)

# Show the plot
plt.show()

定理 4 : 半角の公式

$$ \begin{align} \sin^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos\theta}{2}\\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos\theta}{2}\\ \tan^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} \end{align} $$

例 1

y = sin2x について考えてみます．正弦関数は奇関数であるので，sin2x は偶関数になるはずです．半角の公式を用いると

$$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$

となるので，振幅 $\displaystyle\frac{1}{2}$, 周期 π のコサインカーブを $\displaystyle\frac{1}{2}$ 平行移動したものであることがわかります．

コード 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as ticker

# Define the x values
x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 400)

# Define the y values for both functions
y1 = (1 - np.cos(2 * x))/2
y2 = np.cos(2 * x)

# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y1, label=r"$y = \sin^2(x)$", color="b")
plt.plot(x, y2, label=r"$y = \cos(x)$", color="gray", linestyle="--")

# Add labels, title, and legend
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.axhline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.legend( loc='lower right',)
plt.grid(True)

# Set x-ticks to multiples of pi
xticks = np.arange(-2 * np.pi, 2.5 * np.pi, np.pi / 2)
xtick_labels = [
    r"$-2\pi$",
    r"$-\frac{3\pi}{2}$",
    r"$-\pi$",
    r"$-\frac{\pi}{2}$",
    "0",
    r"$\frac{\pi}{2}$",
    r"$\pi$",
    r"$\frac{3\pi}{2}$",
    r"$2\pi$",
]
plt.xticks(xticks, xtick_labels)


# Show the plot
plt.show()

和積の公式

定理 5 : 正弦関数の和積の公式

$$ \begin{align} \sin \alpha + \sin\beta &= 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\\ \sin \alpha - \sin\beta &= 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos \alpha + \cos\beta &= 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos \alpha - \cos\beta &= -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \end{align} $$

ノートProof

加法定理より

$$ \begin{align} \sin (\gamma + \delta) &= \sin\gamma \cos\delta + \cos\gamma \sin\delta\\ \sin (\gamma - \delta) &= \sin\gamma \cos\delta - \cos\gamma \sin\delta \end{align} $$

これを整理すると

$$ \begin{align} \sin (\gamma + \delta) + \sin (\gamma - \delta) &= 2\sin\gamma \cos\delta\\ \sin (\gamma + \delta) - \sin (\gamma - \delta) &= 2\cos\gamma \sin\delta \end{align} $$

ここで，γ + δ = α, γ − δ = β とおくと

$$ \begin{gather} \gamma = \frac{ \alpha + \beta}{2}, \quad \delta = \frac{\alpha - \beta}{2} \end{gather} $$

となるので

$$ \begin{align} \sin \alpha + \sin\beta &= 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\\ \sin \alpha - \sin\beta &= 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \end{align} $$

余弦関数も同様に

$$ \begin{align} \cos (\gamma + \delta) &= \cos\gamma \cos\delta - \sin\gamma \sin\delta\\ \cos (\gamma - \delta) &= \cos\gamma \cos\delta + \sin\gamma \sin\delta \end{align} $$

であるので

$$ \begin{align} \cos (\gamma + \delta) + \cos (\gamma - \delta) &= 2\cos\gamma \cos\delta\\ \cos (\gamma + \delta) - \cos (\gamma - \delta) &= -2\sin\gamma \sin\delta \end{align} $$

から導くことができます．

例 2

x + y + z = π を満たす実数 x, y, z について

$$ \sin x + \sin y + \sin z = 4 \cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{z}{2} $$

が成り立ちます．LHSを式変形すると

$$ \begin{align} \sin x + \sin y + \sin z &= \sin x + \sin y + \sin (\pi - (x + y))\\ &= \sin x + \sin y + \sin (x + y)\\ &= 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} + 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\\ &= 2\sin\frac{x+y}{2}\left(\cos\frac{x-y}{2} + \cos\frac{x+y}{2}\right)\\ &= 2\sin\frac{x+y}{2}\times 2\cos\frac{\frac{x-y}{2} + \frac{x-y}{2}}{2}\cos\frac{\frac{x-y}{2} - \frac{x-y}{2}}{2}\\ &=4\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{-y}{2}\\ &=4\sin\frac{\pi-z}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\\ &=4\cos\frac{z}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2} \end{align} $$

References