4  確率モデル - 基礎編

確率モデル

Exercise 4.1 誕生日問題

４人が集まったとき，同じ誕生日の人が居る確率を求めよ．なお，１年は365日とし，各人の誕生日は独立に365日の離散型一様分布に従うとする．

Solution

全員が互いに誕生日が異なる確率 \(P\) は \[ P = \frac{{}_{365}P_4}{365^4} \]

従って，少なくとも同じ誕生日の人が居る確率は \(1 - P\) で定義される． これをRで計算すると

x <- 365:362
prob <- prod(x) / (365 ** 4)
1 - prob

[1] 0.01635591

Exercise 4.2 誕生日問題 with R plot

\(n \leq 100\) 人のクラスのメンバー全員に誕生日を聞くとする，同じ誕生日の人が少なくとも一人以上居る確率をRでplotせよ． なお，なお，１年は365日とし，各人の誕生日は独立に365日の離散型一様分布に従うとする．

Solution

\(n\) 人の集まりの中で少なくとも一人以上同じ誕生の人がいる確率は

\[ P(n) = 1 - \frac{{}_{365}P_n}{365^n} \]

これをRでplotすると以下

library(ggplot2)
suppressPackageStartupMessages(library(plotly))

x <- seq(1, 100)
y <- 1 - sapply(x, function(i){prod(seq(365, 365-i+1))/365**i})
fig <- plot_ly(x = ~x, y = ~y, type = 'scatter', mode = 'lines') %>%
  layout(
    title = "クラス人数 vs 同じ誕生日の人が存在する確率",
    xaxis = list(title = "クラス人数"),
    yaxis = list(title = "P(n)")
  )

# Display the plot
fig

Exercise 4.3

表の出る確率 \(p > 0\) のあるコインを独立に投げる試行を考える．裏が初めて出現するまで，表が奇数回続く確率が \(1/3\) 以下 であることが知られている．このとき，\(p\) の範囲を求めよ．

Solution

裏が初めて出るまで表が \(r\) 回続く確率を \(P(r)\) とすると，\(P\) は幾何分布に従うので

\[ P(r) = p^r(1 - p) \]

裏が初めて出現するまで，表が奇数回続く確率が \(1/3\) 以下であるので

\[ \begin{align*} \frac{1}{3} &\geq \sum_{i=0}^\infty P(2r+1)\\ &= \sum_{i=0}^\infty p^{2i+1}(1-p)\\ &= \frac{p}{1 - p^2}(1-p)\\\\ &= \frac{p}{1 + p} \end{align*} \]

従って，

\[ 0 < p \leq \frac{1}{2} \]