2  確率密度関数

実務の分析における測定は有理数となりますが，値が任意の実数である確率変数を考えた方が分析上扱いやすくなる場合があります． 定義域が実数となると標本空間が非可算集合となるため，測度論的確率による理解が必要となりますが，その説明は別のノートで行います．

連続確率変数と確率密度関数

Def: 絶対連続型の確率変数

累積分布関数 \(F\) をもつ確率変数 \(X\) が次の条件を満たす確率密度関数 \(f\) を持つとき，絶対連続(absolutely continuous)という：

\[ \begin{gather} f(x) \geq 0 \quad \forall x\\ F(b) - F(a) = \int^b_a f(x)\mathrm{d}x \quad \text{where } a\leq b \end{gather} \]

\(f\) のnon-negativity性質は，累積分布関数はnon-decreasingであること，及び \(F^\prime(x) = f(x)\) であることから分かる． また確率変数 \(X\) が確率密度関数 \(f(x)\) を持つとき，「\(X\) は \(f(x)\) に従う」とよく言われる．

Theorem 2.1 変数変換と確率密度関数

\(f\) を確率密度関数，\(a > 0\) とし，

\[ g(x) = af(ax) \]

と関数 \(g\) を定義すると

\[ \int^\infty_{-\infty} g(x)\mathrm{d} x = 1 \]

となる

Proof

\(a > 0, f\geq 0\) より \(g\geq 0\) は自明．また，\(ax = z\) と変数変換すると

\[ \begin{align*} \int^\infty_{-\infty} g(x)\mathrm{d} x &= \int^\infty_{-\infty} af(ax)\mathrm{d} x \\ &= \int^\infty_{-\infty} af(z) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z}\mathrm{d} z\\ &= \int^\infty_{-\infty} af(z) \frac{1}{a}\mathrm{d} z = 1 \end{align*} \]