Appendix D — ベータ関数

ベータ関数の性質

Def: ベータ関数

実数 \(a, b\) について，ベータ関数 \(\operatorname{B}(a, b)\) は以下のように定義される．

\[ \operatorname{B}(a, b) = \int^1_0 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathrm{d}x \]

また，ガンマ関数を用いて以下のように表せる

\[ \operatorname{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \]

Proof: ベータ関数とガンマ関数の関係

ガンマ関数の定義を用いて，

\[ \begin{align*} \operatorname{\Gamma}(a)\operatorname{\Gamma}(b) &= \int^\infty_0 x^{a-1}\exp(-x)\mathrm{d}x \int^\infty_0 y^{b-1}\exp(-y)\mathrm{d}y \\ &= \int^\infty_0 \int^\infty_0 x^{a-1}y^{b-1}\exp(-x-y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ \end{align*} \]

ここで, \(x + y = u, x/(x + y) = v\) という変数変換を考える．つまり，

\[ \begin{align*} x = uv, y = u(1-v) \end{align*} \]

このときのヤコビアンは

\[ \begin{align*} \vert\operatorname{det} J \vert= u \end{align*} \]

従って，

\[ \begin{align*} \operatorname{\Gamma}(a)\operatorname{\Gamma}(b) &=\int^\infty_0 \int^\infty_0 (uv)^{a-1}[u(1-v)]^{b-1}\exp(-u) u\mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &= \int^\infty_0 \int^\infty_0 u^{a+b-1}\exp(-u) v^{a-1}(1-v)^{b-1}\mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &= \int^\infty_0 \int^1_0 u^{a+b-1}\exp(-u) v^{a-1}(1-v)^{b-1}\mathrm{d}v \mathrm{d}u \\ &= \int^\infty_0 u^{a+b-1}\exp(-u) \mathrm{d}u \int^1_0 v^{a-1}(1-v)^{b-1}\mathrm{d}v \\ &= \operatorname{\Gamma}(a+b)\operatorname{B}(a, b) \end{align*} \]

つまり，

\[ \operatorname{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\operatorname{\Gamma}(a+b)} \]

Proof: 座標変換

ガンマ関数は \(z^2 = x\) という変数変換を用いると以下のように変換できる

\[ \begin{align*} \operatorname{\Gamma}(a) &= \int^\infty_0 x^{a-1}\exp(-x)\mathrm{d}x \\ &= \int^\infty_0 z^{2a-2}\exp(-z^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}z \\ &= 2\int^\infty_0 z^{2a-1}\exp(-z^2)\mathrm{d}z \end{align*} \]

これを用いて

\[ \begin{align*} \operatorname{\Gamma}(a)\operatorname{\Gamma}(b) &= 4\int^\infty_0 x^{2a-1}\exp(-x^2)\mathrm{d}x \int^\infty_0 y^{2b-1}\exp(-y^2)\mathrm{d}y \\ &= 4\int^\infty_0 \int^\infty_0 x^{2a-1}y^{2b-1}\exp(-(x^2+y^2))\mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{align*} \]

ここで, \(x = r\cos\theta, y=r\sin\theta\) という変数変換を行う．このときのヤコビアンは

\[ \vert \operatorname{det} J \vert = r \]

よって， \[ \begin{align*} \operatorname{\Gamma}(a)\operatorname{\Gamma}(b) &= 4\int^\infty_0 \int^\infty_0 x^{2a-1}y^{2b-1}\exp(-(x^2+y^2))\mathrm{d}x \mathrm{d}y\\ &= 4\int^{\pi/2}_0 \int^\infty_0 r^{2a+2b-2} \cos^{2a-1}\theta \sin^{2b-1}\theta \exp(-r^2) r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta\\ &= \left(2\int^{\pi/2}_0 \cos^{2a-1}\theta \sin^{2b-1}\theta \mathrm{d}\theta\right) \times \left(\int^\infty_0r^{2(a+b)-1}\exp(-r^2)\mathrm{d}r \right)\\ &= \operatorname{B}(a, b) \times \operatorname{\Gamma}(a+b) \end{align*} \]

従って，

\[ \operatorname{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\operatorname{\Gamma}(a+b)} \]

Example D.1 : ベータ関数のplot

import numpy as np
from scipy.special import beta
import plotly.graph_objects as go

X, Y = np.linspace(0, 10, 41)[1:], np.linspace(0, 10, 41)[1:]
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = beta(X, Y)

# Create the 3D surface plot
fig = go.Figure(
    data=[
        go.Surface(z=Z, x=X, y=Y, colorscale="Viridis", opacity=0.7),
        # Adding contours
    ]
)

# Update layout for axis labels and limits
fig.update_layout(
    scene=dict(
        xaxis=dict(title="X"),
        yaxis=dict(title="Y"),
        zaxis=dict(title="Z"),
    ),
    title="3D Surface Plot of Beta Function",
)

# Show the figure
fig.show()

Theorem D.1 三角関数とベータ関数の関係

正の実数 \(a, b\) について，以下が成立する

\[ \operatorname{B}(a, b) = 2\int^{\pi/2}_0\cos^{2a-1}\theta\sin^{2b-1}\theta \mathrm{d}\theta \]

Proof

ベータ関数について \(x = \cos^2\theta\) を用いた置換積分で以下のように示すことができます．

\[ \begin{align*} \operatorname{B}(a, b) &= \int^1_0 x^{a-1}(1-x)^{b-1} \mathrm{d}x\\ &= \int^0_{\pi/2} (\cos^2\theta)^{a-1}(1 - \cos^2\theta)^{b-1} \cdot (-2\cos\theta\sin\theta) \mathrm{d}\theta\\ &= 2\int^{\pi/2}_0 \cos^{2a-1}\theta \sin^{2b-1}\theta\mathrm{d}\theta \end{align*} \]

なお, \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\) 及び \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}\cos^2\theta}{\mathrm{d}\theta} = -2\cos\theta\sin\theta\) を用いている．

Theorem D.2 引数の交換性

正の実数 \(a, b\) について，以下が成立する

\[ \operatorname{B}(a, b) = \operatorname{B}(b, a) \]

Proof

\[ \begin{align*} \operatorname{B}(a, b) &= \int^1_0 x^{a-1}(1-x)^{b-1} \mathrm{d}x\\ &= \int^0_1 (1-z)^{a-1}z^{b-1} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}z\\ &= \int^1_0 (1-z)^{a-1}z^{b-1} \mathrm{d}z\\ &= \operatorname{B}(b, a) \end{align*} \]