Appendix G — ロピタルの定理

Theorem G.1

$x=a$に十分近い$x$について$f(x),g(x)$は微分可能とする. さらに$x=a$以外で$g(x)\ne 0$とする

(1). $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$のとき次式が成り立つ

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

(2). $\underset{x\to a}{lim}|f(x)|=\mathrm{\infty },\underset{x\to a}{lim}|g(x)|=\mathrm{\infty }$のとき次式が成り立つ

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

(1), (2)で $a$ を $\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$ に置き換えても同様の命題が成り立つ.

Proof

▶  $a<\mathrm{\infty },\underset{x\to a}{lim}f(x)=g(x)=0$ の場合

平均値の定理より

$$\begin{array}{r}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}\end{array}$$

このとき, $\xi$は$a,x$の間の数. なお, $\xi \to a\text{ as }x\to a$なので

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$$

▶  $a=\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=g(x)=0$ の場合

$x=\frac{1}{t}$と変換し, 次の関数を考える

$$\begin{array}{rl}& h(t)=f(1/t)\\ & k(t)=g(1/t)\\ & \underset{t\to 0}{lim}h(t)=\underset{t\to 0}{lim}k(t)=0\end{array}$$

従って,

$$\begin{array}{rl}& \frac{h(t)}{k(t)}=\frac{h(t)-h(0)}{k(t)-k(0)}=\frac{h^{\prime }(\xi )}{k^{\prime }(\xi )}\\ & \Rightarrow \underset{t\to 0}{lim}\frac{h(t)}{k(t)}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{h^{\prime }(t)}{k^{\prime }(t)}\end{array}$$

よって,

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

▶  Example G.1 : ロピタルの定理の使用例

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^k}{e^x}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k{x}^{k-1}}{e^x}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k(k-1)x^{k-2}}{e^x}\\ & =\cdots \\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k!}{e^x}\\ & =0\end{array}$$