Appendix G — ロピタルの定理

Theorem G.1

\(x=a\)に十分近い\(x\)について\(f(x), g(x)\)は微分可能とする. さらに\(x=a\)以外で\(g(x)\neq 0\)とする

(1). \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\)のとき次式が成り立つ

\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} \]

(2). \(\lim_{x\to a}\vert f(x)\vert= \infty, \lim_{x\to a}\vert g(x)\vert=\infty\)のとき次式が成り立つ

\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} \]

(1), (2)で \(a\) を \(\infty, -\infty\) に置き換えても同様の命題が成り立つ.

Proof

▶  \(a<\infty, \lim_{x\to a}f(x)=g(x)=0\) の場合

平均値の定理より

\[ \begin{align*} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}= \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)} \end{align*} \]

このとき, \(\xi\)は\(a, x\)の間の数. なお, \(\xi\to a \text{ as }x\to a\)なので

\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f^\prime(a)}{g^\prime(a)} \]

▶  \(a=\infty, \lim_{x\to \infty}f(x)=g(x)=0\) の場合

\(x = \frac{1}{t}\)と変換し, 次の関数を考える

\[ \begin{align*} &h(t) = f(1/t)\\ &k(t) = g(1/t)\\ & \lim_{t\to 0} h(t) = \lim_{t\to 0} k(t) = 0 \end{align*} \]

従って,

\[ \begin{align*} &\frac{h(t)}{k(t)} = \frac{h(t)-h(0)}{k(t)-k(0)} = \frac{h^\prime(\xi)}{k^\prime(\xi)}\\[3pt] &\Rightarrow \lim_{t\to0}\frac{h(t)}{k(t)} = \lim_{t\to0}\frac{h^\prime(t)}{k^\prime(t)} \end{align*} \]

よって,

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} \]

Example G.1 : ロピタルの定理の使用例

\[ \begin{align*} \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x} &= \lim_{x\to\infty}\frac{kx^{k-1}}{e^x}\\[3pt] &= \lim_{x\to\infty}\frac{k(k-1)x^{k-2}}{e^x}\\[3pt] &= \cdots\\ &= \lim_{x\to\infty}\frac{k!}{e^x}\\[3pt] &= 0 \end{align*} \]