Ryo Nakagami
2024-09-21
2024-10-19
Theorem G.1
x=aに十分近いxについてf(x),g(x)は微分可能とする. さらにx=a以外でg(x)≠0とする
(1). limx→af(x)=limx→ag(x)=0のとき次式が成り立つ
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)
(2). limx→a|f(x)|=∞,limx→a|g(x)|=∞のとき次式が成り立つ
(1), (2)で a を ∞,−∞ に置き換えても同様の命題が成り立つ.
▶ a<∞,limx→af(x)=g(x)=0 の場合
平均値の定理より
f(x)g(x)=f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)
このとき, ξはa,xの間の数. なお, ξ→a as x→aなので
limx→af(x)g(x)=f′(a)g′(a)
▶ a=∞,limx→∞f(x)=g(x)=0 の場合
x=1tと変換し, 次の関数を考える
h(t)=f(1/t)k(t)=g(1/t)limt→0h(t)=limt→0k(t)=0
従って,
h(t)k(t)=h(t)−h(0)k(t)−k(0)=h′(ξ)k′(ξ)⇒limt→0h(t)k(t)=limt→0h′(t)k′(t)
よって,
limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f′(x)g′(x)
▶ Example G.1 : ロピタルの定理の使用例
limx→∞xkex=limx→∞kxk−1ex=limx→∞k(k−1)xk−2ex=⋯=limx→∞k!ex=0