Appendix G — ロピタルの定理

Author

Ryo Nakagami

Published

2024-09-21

Modified

2024-10-19

Theorem G.1

x=aに十分近いxについてf(x),g(x)は微分可能とする. さらにx=a以外でg(x)0とする

(1). limxaf(x)=limxag(x)=0のとき次式が成り立つ

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

(2). limxa|f(x)|=,limxa|g(x)|=のとき次式が成り立つ

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

(1), (2)で a, に置き換えても同様の命題が成り立つ.

Proof

▶  a<,limxaf(x)=g(x)=0 の場合

平均値の定理より

f(x)g(x)=f(x)f(a)g(x)g(a)=f(ξ)g(ξ)

このとき, ξa,xの間の数. なお, ξa as xaなので

limxaf(x)g(x)=f(a)g(a)

▶  a=,limxf(x)=g(x)=0 の場合

x=1tと変換し, 次の関数を考える

h(t)=f(1/t)k(t)=g(1/t)limt0h(t)=limt0k(t)=0

従って,

h(t)k(t)=h(t)h(0)k(t)k(0)=h(ξ)k(ξ)limt0h(t)k(t)=limt0h(t)k(t)

よって,

limxf(x)g(x)=limxf(x)g(x)

  Example G.1 : ロピタルの定理の使用例

limxxkex=limxkxk1ex=limxk(k1)xk2ex==limxk!ex=0