Appendix E — ガンマ関数

ガンマ関数の性質

ガンマ関数は，階乗関数を正の実数に拡張したものです． $n\in \mathbb{N}$ について階乗関数は

$$n!=(n-1)!\cdot n$$

と表されますが，ガンマ関数も

$$\mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z-1)\cdot (z-1)$$

という性質があります．

Def: ガンマ関数

関数 $\mathrm{\Gamma }:{\mathbb{R}}_{++}\to {\mathbb{R}}_{++}$ を以下のように定義する：

$$\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{z-1}\exp (-x)\mathrm{d}x$$

これをガンマ関数と呼ぶ．

ガンマ関数は，正の整数 $x$ に対して，$y=x!$ という平面上の点 $(x,y)$ を結ぶsmooth curveに対応します．

from plotly import express as px
import numpy as np
from scipy.special import gamma, factorial

x = np.linspace(0, 6*1.05, 200)
k = np.arange(1, 7)

fig = px.line(x=x, y=gamma(x), title='Gamma function')
fig.add_traces(
    list(px.scatter(x=k, y=factorial(k-1)).select_traces())
)
fig.show()

▶  $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ の確認

まず，$\gamma (1)=1$ を確認します．

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(1)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{1-1}\exp (-x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp (-x)\mathrm{d}x\\ & ={[-\exp (-x)]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =1=0!\end{array}$$

続いて, $z\in {\mathbb{R}}_{++}$ について，$\mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z-1)\cdot (z-1)$ が成立することを確認します．

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(z+1)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{z+1-1}\exp (-x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^z\exp (-x)\mathrm{d}x\\ & =[-x^z\exp (-x){]}_0^{\mathrm{\infty }}+z{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{z-1}\exp (-x)\mathrm{d}x\\ & =z\mathrm{\Gamma }(z)\end{array}$$

なお，

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}-x^z\exp (-x)=0$$

はロピタルの定理を用いています．

Theorem E.1

$a>0$ という定数をについて

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}\exp (-at)\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)}{a^x}$$

Proof

$u=at$ という変数変換を考える．$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=\frac{1}{a}$ であるので，

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}\exp (-at)\mathrm{d}t& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{u}{a}\right)}^{x-1}\exp (-u)\frac{1}{a}\mathrm{d}u\\ & =\frac{1}{a^x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{x-1}\exp (-u)\mathrm{d}u\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(x)}{a^x}\end{array}$$

▶  Example E.1

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\exp (-a{x}^2)\mathrm{d}x$$

も上述の定理を使うと簡単に計算できます．$x^2=u$ という変数変換を念頭に以下，

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\exp (-a{x}^2)\mathrm{d}x& =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\exp (-a{x}^2)\mathrm{d}x\because \text{偶関数}\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}u\exp (-au)\times \frac{1}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{\frac{3}{2}-1}\exp (-au)\mathrm{d}u\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(3/2)}{a^{\frac{3}{2}}}\\ & =\frac{\sqrt{\pi }}{2a\sqrt{a}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}◼& \end{array}$$

Theorem E.2

ガンマ関数について，以下の等式が成り立つ

$$\mathrm{\Gamma }(s)=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{2s-1}\exp (-t^2)\mathrm{d}t$$

Proof

ガンマ関数について $t=u^2$ という変数変換を行うと以下のように導けます．

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}\exp (-t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{2s-2}\exp (-u^2)\times 2u\mathrm{d}u\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{2s-1}\exp (-u^2)\mathrm{d}u\end{array}$$

ガンマ関数の有名な公式

Theorem E.3

$$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$$

Proof: ガウス積分を用いる場合

$t=u^2$ という変数変換を考える．

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-1/2}\exp (-t)\mathrm{d}t& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{-1}\exp (-u^2)2u\mathrm{d}u\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp (-u^2)\mathrm{d}u\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-u^2)\mathrm{d}u\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\frac{u^2}{2\times (\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2})\mathrm{d}u\\ & =\sqrt{2\pi }\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =\sqrt{\pi }\end{array}$$

Proof: 極座標変換を用いる場合

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}{)}^2& =({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-1/2}\exp (-t)\mathrm{d}t{)}^2\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{-1/2}\exp (-x)\mathrm{d}x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{-1/2}\exp (-y)\mathrm{d}y\end{array}$$

ここで，$x=u^2,y=v^2$ と置換積分する．

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{-1/2}\exp (-x)\mathrm{d}x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{-1/2}\exp (-y)\mathrm{d}y& =4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp (-u^2)\mathrm{d}u{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp (-v^2)\mathrm{d}v\\ & =4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp [-(u^2+v^2)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$

更に，$u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$ という極座標変換を行う．$u,v\ge 0$ であることに留意すると，$r\in (0,\mathrm{\infty }),\theta \in (0,\pi /2)$ になるので

$$\begin{array}{rl}4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp [-(u^2+v^2)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v& =4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\pi /2}\exp [-r^2]r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r\because u,v\ge 0\\ & =4\times \frac{\pi }{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp [-r^2]r\mathrm{d}r\\ & =4\times \frac{\pi }{2}[\frac{\exp (-r^2)}{-2}{]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\pi \end{array}$$

ガンマ関数の定義より，$\mathrm{\Gamma }(1/2)>0$ なので，

$$\mathrm{\Gamma }(1/2{)}^2=\pi \Rightarrow \mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$$