ガンマ関数の性質
ガンマ関数は，階乗関数を正の実数に拡張したものです． \(n\in\mathbb N\) について階乗関数は
\[
n! = (n-1)!\cdot n
\]
と表されますが，ガンマ関数も
\[
\Gamma(z) = \Gamma(z-1)\cdot (z-1)
\]
という性質があります．
Def: ガンマ関数
関数 \(\Gamma: \mathbb R_{++}\to\mathbb R_{++}\) を以下のように定義する：
\[
\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1}\exp(-x)\mathrm{d}x
\]
これをガンマ関数と呼ぶ．
ガンマ関数は，正の整数 \(x\) に対して，\(y=x!\) という平面上の点 \((x, y)\) を結ぶsmooth curveに対応します．
Code
from plotly import express as px
import numpy as np
from scipy.special import gamma, factorial
x = np.linspace(0, 6*1.05, 200)
k = np.arange(1, 7)
fig = px.line(x=x, y=gamma(x), title='Gamma function')
fig.add_traces(
list(px.scatter(x=k, y=factorial(k-1)).select_traces())
)
fig.show()
▶ \(\Gamma(n) = (n-1)!\) の確認
まず，\(\gamma(1) = 1\) を確認します．
\[
\begin{align*}
\Gamma(1)
&= \int^\infty_0 x^{1-1}\exp(-x)\mathrm{d}x\\
&= \int^\infty_0 \exp(-x)\mathrm{d}x\\
&= \left[-\exp(-x)\right]^\infty_0\\
&= 1 = 0!
\end{align*}
\]
続いて, \(z\in\mathbb R_{++}\) について，\(\Gamma(z) = \Gamma(z-1)\cdot (z-1)\) が成立することを確認します．
\[
\begin{align*}
\Gamma(z+1)
&= \int^\infty_0 x^{z+1-1}\exp(-x)\mathrm{d}x\\
&= \int^\infty_0 x^{z}\exp(-x)\mathrm{d}x\\
&= [-x^z\exp(-x)]^\infty_0 + z\int^\infty_0 x^{z-1}\exp(-x)\mathrm{d}x\\
&= z\Gamma(z)
\end{align*}
\]
なお，
\[
\lim_{x\to\infty}-x^z\exp(-x)=0
\]
はロピタルの定理を用いています．
Theorem E.1
\(a > 0\) という定数をについて
\[
\int^\infty_0t^{x-1}\exp(-at)\mathrm{d}t = \frac{\Gamma(x)}{a^x}
\]
\(u = at\) という変数変換を考える．\(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=\frac{1}{a}\) であるので，
\[
\begin{align*}
\int^\infty_0t^{x-1}\exp(-at)\mathrm{d}t
&= \int^\infty_0\left(\frac{u}{a}\right)^{x-1}\exp(-u)\frac{1}{a}\mathrm{d}u\\
&= \frac{1}{a^x}\int^\infty_0u^{x-1}\exp(-u)\mathrm{d}u\\
&= \frac{\Gamma(x)}{a^x}
\end{align*}
\]
Example E.1
\[
\int^\infty_{-\infty}x^2\exp(-ax^2)\mathrm{d}x
\]
も上述の定理を使うと簡単に計算できます．\(x^2 = u\) という変数変換を念頭に以下，
\[
\begin{align*}
\int^\infty_{-\infty}x^2\exp(-ax^2)\mathrm{d}x
&= 2\int^\infty_{0}x^2\exp(-ax^2)\mathrm{d}x \quad\because \text{偶関数}\\
&= 2\int^\infty_{0}u\exp(-au)\times \frac{1}{2\sqrt{u}}\mathrm{d} u\\
&= \int^\infty_{0}u^{\frac{3}{2}-1}\exp(-au)\mathrm{d} u\\
&= \frac{\Gamma(3/2)}{a^{\frac{3}{2}}}\\
&=\frac{\sqrt{\pi}}{2a\sqrt{a}}
\end{align*}
\]
\[\tag*{\(\blacksquare\)}\]
Theorem E.2
ガンマ関数について，以下の等式が成り立つ
\[
\Gamma(s) = 2\int_0^\infty t^{2s-1}\exp(-t^2)\mathrm{d}t
\]
ガンマ関数について \(t = u^2\) という変数変換を行うと以下のように導けます．
\[
\begin{align*}
\Gamma(s)
&= \int_0^\infty t^{s-1}\exp(-t)\mathrm{d}t\\
&= \int_0^\infty u^{2s-2}\exp(-u^2)\times 2u \mathrm{d}u\\
&= 2\int_0^\infty u^{2s-1}\exp(-u^2)\mathrm{d}u\\
\end{align*}
\]
ガンマ関数の有名な公式
Theorem E.3
\[
\Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \sqrt{\pi}
\]
\(t = u^2\) という変数変換を考える．
\[
\begin{align*}
\int^\infty_0t^{-1/2}\exp(-t)\mathrm{d}t
&= \int^\infty_0u^{-1}\exp(-u^2)2u\mathrm{d}u\\[3pt]
&= 2\int^\infty_0\exp(-u^2)\mathrm{d}u\\[3pt]
&= \int^\infty_{-\infty}\exp(-u^2)\mathrm{d}u\\[3pt]
&= \int^\infty_{-\infty}\exp\bigg(-\frac{u^2}{2\times(\frac{1}{\sqrt 2})^2}\bigg)\mathrm{d}u\\[3pt]
&= \sqrt{2\pi}\frac{1}{\sqrt 2}\\
&= \sqrt{\pi}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2 &= \bigg(\int^\infty_0t^{-1/2}\exp(-t)\mathrm{d}t\bigg)^2\\[3pt]
&= \int^\infty_0x^{-1/2}\exp(-x)\mathrm{d}x\int^\infty_0y^{-1/2}\exp(-y)\mathrm{d}y
\end{align*}
\]
ここで，\(x=u^2, y=v^2\) と置換積分する．
\[
\begin{align*}
\int^\infty_0x^{-1/2}\exp(-x)\mathrm{d}x\int^\infty_0y^{-1/2}\exp(-y)\mathrm{d}y
&= 4\int^\infty_0\exp(-u^2)\mathrm{d}u\int^\infty_0\exp(-v^2)\mathrm{d}v\\
&= 4\int^\infty_0\int^\infty_0\exp[-(u^2+v^2)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v
\end{align*}
\]
更に，\(u = r\cos\theta, v=r\sin\theta\) という極座標変換を行う．\(u, v\geq 0\) であることに留意すると，\(r\in(0, \infty), \theta\in (0, \pi/2)\) になるので
\[
\begin{align*}
4\int^\infty_0\int^\infty_0\exp[-(u^2+v^2)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v &= 4\int^\infty_0\int^{\pi/2}_0\exp[-r^2]r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r \ \ \because u, v\geq 0 \\[3pt]
&= 4\times \frac{\pi}{2} \int^{\infty}_0\exp[-r^2]r\mathrm{d}r\\[3pt]
&= 4\times \frac{\pi}{2}\bigg[\frac{\exp(-r^2)}{-2}\bigg]^\infty_0\\[3pt]
&= \pi
\end{align*}
\]
ガンマ関数の定義より，\(\Gamma(1/2) > 0\) なので，
\[
\Gamma(1/2)^2 = \pi \Rightarrow \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}
\]