28  無作為抽出法

無作為抽出法

問題設定

A, B, C, D, Eなる５個のEntityからなる母集団から無作為に３個のEntityを選ぶ問題を考えます． このとき，

• ３個の選び方は何通りあるか？
• 各個別Entityの抽出確率はどれくらいか？

５個の中から３個選ぶ問題は

\[ {}_5C_3 = \frac{5!}{(5-3)!3!} = 10 \]

と計算できます．実際にPythonで計算すると以下のように確かめることができます．

from itertools import combinations
import numpy as np
import polars as pl

# A, B, C, D, Eのリストを用意
entities = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']

# 3個のEntityを選ぶ組み合わせを作成
combinations_3 = list(combinations(entities, 3))

# 組み合わせ結果をPolarsのデータフレームに変換
df = pl.DataFrame({
    "sample_index": np.arange(1, 11),
    "combination": [f"{a}, {b}, {c}" for a, b, c in combinations_3]
})

# 結果を表示
print(df)

shape: (10, 2)
┌──────────────┬─────────────┐
│ sample_index ┆ combination │
│ ---          ┆ ---         │
│ i64          ┆ str         │
╞══════════════╪═════════════╡
│ 1            ┆ A, B, C     │
│ 2            ┆ A, B, D     │
│ 3            ┆ A, B, E     │
│ 4            ┆ A, C, D     │
│ 5            ┆ A, C, E     │
│ 6            ┆ A, D, E     │
│ 7            ┆ B, C, D     │
│ 8            ┆ B, C, E     │
│ 9            ┆ B, D, E     │
│ 10           ┆ C, D, E     │
└──────────────┴─────────────┘

これら標本がどれも当確率に選ばれるような抽出操作のことを無作為抽出法と呼びます．各Entityに着目すると， 標本に含まれる確率は \(\displaystyle\frac{3}{5}\) となります．実際にEntity Aに着目して，その抽出確率を求めると

probability_A = df.filter(pl.col("combination").str.contains("A")).height / len(
    combinations_3
)
print(f"Aが選ばれる確率: {probability_A:.2f}")

Aが選ばれる確率: 0.60

一般に母集団サイズ \(N\) から サイズ \(n\) の標本を無作為抽出する場合は可能な標本総数は

\[ {}_NC_n = \frac{N!}{(N-n)!n!} \]

と表せます，