Appendix A — テイラー展開

テイラー展開の例

Theorem A.1

\(\exp(itx)\quad i=\sqrt{-1}\) について，マクローリン展開すると

\[ \begin{align*} \exp(itx) &= 1 + it - \frac{1}{2!}t^2 + \frac{1}{3!}it^3 + \frac{1}{4!}t^4 + \cdots\\ &= \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(itx)^k \end{align*} \]

Theorem A.2

\(n \in \mathbb R\) を定数としたとき \((1 - 2it)^{-n/2}\) のマクローリン展開は

\[ 1 + \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}(2it)^k\prod^{k-1}_{j=0}\big(\frac{n}{2}+j\big) \]