15  連続一様分布

一様分布の性質

Def: 一様分布

確率変数 $X$ がパラメータ $a,b$ の一様分布に従うとき，$X\sim \mathrm{U}[a,b]$ と表す．$X$ の値域は

$$X(\mathrm{\Omega })=[a,b]$$

であり，確率密度関数 $f_X(x)$ は

$$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& x\in [a,b]\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

▶  期待値の計算

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{f}_X(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_a^b\frac{1}{b-a}x\mathrm{d}x\\ & =\frac{a+b}{2}\end{array}$$

▶  分散の計算

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X^2]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2{f}_X(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_a^b\frac{1}{b-a}{x}^2\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{b-a}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_a^b\\ & =\frac{a^2+ab+b^2}{3}\end{array}$$

従って，

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

▶  積率母関数の導出

積率母関数については，$t\ne 0$ であれば

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& ={\int }_a^b\frac{1}{b-a}\exp (tx)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{b-a}{[\frac{1}{t}\exp (tx)]}_a^b\\ & =\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t}\end{array}$$

Theorem 15.1 : 一様分布の累積分布関数

確率変数 $X\mathrm{U}[a,b]$ の累積分布関数 $F_X(x)$ は

$$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if}x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{if}x\in [a,b]\\ 1& \text{if}x>b\end{array}$$

Proof

$x<a$ のとき，$X$ の値域は $[a,b]$ であるので

$$F_X(a)=Pr(X\le a)=0$$

$x\in [a,b]$ において，

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& ={\int }_a^x{f}_X(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{x-a}{b-a}\end{array}$$

$x>b$ のとき，上記より $F_X(b)=1$.

Theorem 15.2 : 一様分布の微分エントロピー

確率変数 $X\mathrm{U}[a,b]$ の微分エントロピーは

$$\mathrm{H}(x)=\ln (b-a)$$

Proof

$$\begin{array}{rl}\mathrm{H}(x)& =-\int f_X(x)\ln (f_X(x))\mathrm{d}x\\ & =\frac{\ln (b-a)}{b-a}{\int }_a^b\mathrm{d}x\\ & =\ln (b-a)\end{array}$$

他の確率分布との関係性

Theorem 15.3 : ベータ分布の特殊ケースとしての一様分布

パラメータ $(\alpha ,\beta )=(1,1)$ のベータ分布は標準一様分布と等しい．

$$\mathrm{Be}(1,1)=\mathrm{U}[0,1]$$

Proof

確率変数 $X\sim \mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ の確率密度関数は,

$$f_X(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}(0<x<1)$$

$\alpha =\beta =1$ を代入すると，

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(2)}{\mathrm{\Gamma }(1)\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^{1-1}(1-x{)}^{1-1}\\ & =1\end{array}$$

従って，$\mathrm{U}[0,1]$ の確率密度関数と一致することがわかります．

Proof: MGFを用いた証明

確率変数 $X\sim \mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ のMGFは

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& ={\int }_0^1\exp [tx]\cdot \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{\int }_0^1{e}^{tx}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\mathrm{d}x\end{array}$$

$\alpha =\beta =1$ を代入すると，

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =\frac{1}{\mathrm{B}(1,1)}{\int }_0^1{e}^{tx}{x}^{1-1}(1-x{)}^{1-1}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{t}[e-1]\end{array}$$

これは　$\mathrm{U}[0,1]$ のMGFと一致するので，パラメータ $(\alpha ,\beta )=(1,1)$ のベータ分布は標準一様分布と等しいことがわかります．

Theorem 15.4 : 一様分布の対数変換と指数分布

確率変数 $X\sim \mathrm{U}(0,1)$ について，

$$Y=-\log (X)$$

という変数変換を考える．このとき，$Y\sim \mathrm{Exp}(1)$ が成り立つ．

Proof

$Y=-\log (X)$ とするとその定義域は $[0,\mathrm{\infty })$ となります．対数変換は単調増加関数なので，$y\in [0,\mathrm{\infty })$ の範囲で

$$f_Y(y)=f_X(\exp (-y))\times \left|\frac{\mathrm{d}\exp (-y)}{\mathrm{d}y}\right|=\exp (-y)$$

これは $\mathrm{Exp}(1)$ の確率密度関数と一致するので，$Y\sim \mathrm{Exp}(1)$ が成り立つ．